горизонтальных углов производятся между вертикальными нормальными плоскостями. Это означает, что визирная плос1ость из А в В проходит через линию отвеса (нормаль) в точке А и оставляет на поверхности сфероида нек-рый след в виде дуги сфероида; если точка В не находится на одной широте с А, то направление линии тяжести в В будет иное, и плоскость визирования из А в В не будет вмещать линию отвеса В, и, обратно, плоскость визирования из В не будет вмещать линию отвеса в J., а оба эти визирования образуют на поверхности эллипсоида две дуги, не совпадающие между собою, сходящиеся в точках А и В ж составляющие некоторый угол. Наибольшее значение этого угла выражается формулой:

600 sin 1 \ а /

здесь S-длина линии и а-большая полуось земли (примерно, 6 377 км). Величина этого угла вообще очень незначительна и для линии в 100 км не превосходит 0,1 . Большие удобства представляет замена сфе-роидическ. нормального сечения дугой шара радиуса кривизны первого вертикала; соотношение между нидш выражается ф-лой:

S~ Q.a = - cos* (р cos* а,

где S-дуга сфероида, о-дуга шара радиуса, равного единице, -радиус кривизны первого вертикала, е-эксцентриситет сфероида, (р-широта, а-азимут. Значит, разность между дугою сфероида и дугою шара выражается малой величиной пятого порядка, наибольшее значение к-рой будет

при = 0° и к = 0°; тогда А = . Ее-

ли принять большую полуось а = 6 377 км, е = 1 :12, (Т = , т. е. дуге в 1°, соответствующей на земной поверхности, примерно, 112 км, то Лм = lg; = 0,04 м, или 4 см, что дает относительную разность на 112 км в виде отношения 1 : 3 ООО ООО, вполне удовлетворяющей требованиям самых точных геодезических работ. Если желательно не выходить за пределы точности в 1 :1 ООО ООО, то следует ограничиваться дугами не более 192 км, или, округляя число, 200 км. Практически возможна замена радиуса кривизны первого вертикала средним радиусом кривизны, что вызывает ничтожные поправки в приведенных выше формулах. Во всяком случае линии на земной сфероидической поверхности до 100 км, без ущерба для точности дела, можно трактовать как дуги шара, т. е. сфероидич. тр-ки трактовать как сферические, решая их по правилам сферич. тригонометрии; дальнейшее упрощение вычислений основано на теореме Лежандра: если на углы сферического тр-ка распределить эксцесс поровну, то такой тр-к можно решать, как плоский, т. к. вычисленные т. о. стороны будут равняться

сторонам данного сферич. тр-ка. Здесь экс-

цесс вычисляется по ф-ле: в = 206 265 -д-,

где Р-площадь сферическ. тр-ка и В-радиус шара. При вычислении больших линий, свыше 100 км, и при самых точных вьши-

слениях нельзя сфероидические дуги заменять сферическими, и приходится иметь дело или с нормальными сечениями, что неудобно в виду их двойственности, или с геодезич. линиями. Итак, для решения Г. з. преиоде всего следует установить, с какими линиями приходится вести вычисления, и только после этого можно будет искать соответствующее решение; вследствие условности Г. 3. предложено много решений ее различ-кыми авторами (Бессель, Гаусс, Кларк и друг.); каждое из решений основывается на каком-нибудь допущении.

Способ Бесселя основан на принятии геодезической линии и на перенесении вычислений со сфероида на шар радиуса а (а- большая полуось сфероида). Путем сличения сферического тр-ка со сфероидическим все точки сфероида переносят на сферу радиуса а, так что геодезич. линии обращаются в дуги кругов, широты изображений точек на сфере будут равны приведенным широтам на сфероиде, азимуты геодезич. линий сохраняют свои величины. Остается выяснить соотношения: 1)между длиной геодезич. линии 5 и длиной соответствующей дуги на шаре д я 2) между разностью долгот на сфероиде Я и соответствующ. углом (о на шаре. Первое соотношение выражается формулой:

dS = a ]/l - е* созЧ* dS,

а второе

dl - ]/i - е* cos* и dm; здесь а-большая полуось, е-эксцентриситет, и-приведенная широта. Эти два дифференциальных ур-ия и служат основными для решения Г. з. по способу Бесселя; решаются они интегрированием и разложением подинтегральных функций в ряд по восходящим степеням величины е. В этих рядах можно ограничиваться различным количеством членов в зависимости от той точности, с которой требуется произвести вычисления в калодом отдельном случае. Значения вспомогательных величин даются в особых таблицах. В СССР находят применение формулы Шрейбера. Военно-топографическ. отделом в 1902 г. изданы Таблицы для вычисления широт, долгот и азимутов тригонометрических точек на эллипсоиде Бесселя по ф-лам Шрейбера. По формулам Шрейбера широты и разность долгот линий до 100 км могут быть получены с точностью до 0,001 , а азимуты-с точностью до 0,01 , поэтому при нользовании этими ф-лами необходимо применять семизначные логарифмы и производить интерполирование. Нельзя не указать па существование формул Гаусса, по которым широты и азимуты получаются путем последовательных приближений, а разность долгот-непосредственно.

Лит.; Витковский В. В., Практич. геодезия, СПБ, 2 изд., 1911; Иверонов И. А., Курс высшей геодезии, 2 изд., М., 1926; Иордан В., Руководство высшей геодезии, нер. с нем., М.. 1881; Кларк А., Геодезия, СПБ, 1890; Филоненко А., Практическое руководство для производства триангуляции, Москва, 1927. П. Орлов.

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. Г. к. на правильном эллипсоиде должны равняться географическим координатам (см.); вычисляются они при помощи тригонометрическ. сети, в которой д. б. измерены и вычислены все стороны, углы и азимуты (см. Геодези-

ческая задача). Координаты начальной точки берутся из примыкающей триангуляции, ранее вычисленной, или же из астрономическ. наблюдений. Но т. к. поверхность земли не есть правильная поверхность эллипсоида, то практически геодезич. и географич. координаты отличаются друг от друга иногда на десятки угловых секунд. Кратчайшая кривая, которая м. б. проведена на какой-либо поверхности между двумя точками, называется геодезич. линией. Главное свойство геодезическ. линии (которое можно рассматривать и как основное ее определение): соприкасающаяся с геодезич. линией плоскость в канадой точке проходит через нормаль к новерхности, т.е. направленпя норма-.чи к поверхности и главной нормали к геодезическ. линии всюду совпадают. Для геодезич. линии существует ур-ие, к-рое вьшодится из ур-ия поверхности. Если ур-ие поверхности Щх, у, z)=0, то дифференциальное ур-ие геодезич. линии:

дЦ дЦ дЦ дх ду dz

ds- ds ds

Для поверхности вращения получается уравнение: r-sin =Const. Т. к. радиус параллели г на эллипсоиде вращения равняется а-cos и, где а-большая полуось и и-приведенная широта параллели, то из предыдущего ур-ия получается а-cos м-sin = Const. Эти оба уравнения указывают на особенность в движении по эллипсоиду геодезической линии. Для двух точек эллипсоида существует, следовательно, уравнение:

cos w-sin а -- cos M-sin а. Если на шаре радиуса а составить сферический тр-к так, чтобы две дуги соответственно равнялись 90°-г* и 90°-и один угол был равен , то окажется, что все точки данного сфероидического треугольника м. б. перенесены на сферу радиуса а, так что Геодезические линии обратятся в круги, широты на сфере будут равны приведенным широтам на сфероиде, и азимуты геодезических линий сохранят свои величины.

Течение геодезической линии, выракаемое ур-ием r-sina=Const, имеет свои особенности. Так, есчи азимут а геодезич. линии равен О или 180°, то она для всех широт будет совпадать с меридианом; если геодезич. линия началась на экваторе под азимутом 90°, то она совпадает с экватором. Если взять общий случай, когда геодезическ. линия выходит из произвольной точки на северной половине сфероида, под произвольным азимутом между О и 90°, то для постоянства выражения г-sin к, при уменьшении к северу радиуса парал-чели г, должен увеличиваться sin а, следовательно, и азимут ; когда последний достигнет 90°, то г получит наименьшее значение, и дальше г начнет увеличиваться, а sin а-уменьшаться; так будет до экватора, где г станет наибольшим, sin сс-наименьшим и а-наибольшим; далее геодезическая линия перейдет в южную половину сфероида, и т. д.

По отношению к нормальным сечениям геодезич. линия располагается почти всегда между ними, но на меридиане (азимут=0°) и на экваторе (азимут=90°) совпадает с ни-

ми. Между прямым и обратным нормальными сечениями двух точек составляется неко-торьп! угол, определяемьш формулой:

ljs j 4siii 1

sin 2c: cos cp,

где s-длина линии, В-радиус кривизны, е-эксйентриситет, а-азимут, (р -широта. Геодезическая линия, проходя между нормальными сечениями, разделяет этот угол S на неравные части так, что между одним нормальным сечением и геодезич. линией составляется угол в 7з а между другим сечением-в Уз б. В виду того, что разность менаду д.чиной геодезической линии и нормал:ьными сечениями ничтожно мала (на 1 ООО км всего 0,00002 лг), можно нормальные сечения по длине считать равными геодезической линии, а для угловых вычислений необходимо азимуты (прямые) нормальных сечений изменять на величину в /36; впрочем, и эти поправки сколько-нибудь ощутительны только на очень больших расстояниях (на 100 км-0,1 ).

Лит.: Витковский В.В., Практическая геодезия, 2 изд., СПБ, 1911; И в е р о н о в И. А., Курс высшей геодезии, 2 издание, М.,1926; Иордан В., Руководство высшей геодезии, пер. с нем., М., 1881; Кларк А., Геодезия, СПБ, 1890. П. Орлов.

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ (инструменты), технич. приспособления и устройства механич. типа, при помощи к-рых производятся геодезические измерения. Г. п. чрезвычайно многочисленны, разнообразны по построению и точности. В зависимости от назначения, их можно разделить на следующие группы.

I. Приборы для обозначения точек, между которыми производятся измерения по горизонтальному и вертикальному направлениям: а) вехи простые и на кардановых штативах, б) штативы,

в) костыли для забивки в тротуары,

г) пирамиды простые, деревянные и железные, сигналы сложные, деревянные для тригонометрических пунктов (см. Триангуляция), д) гелиотропы (см.) для визирования на уда.ленные точки и е) реперы фиг. i. и марки для нивелирования (см.).

II. Приборы для измерения длин лини й: а) базисные приборы (см.), б) стальные ленты, рейки (фиг. 1), брусья, цепи (фиг. 2), тросы, стальные и полоти, рулетки.

III. Инструменты для измерения углов: а) эккер, б) секстант (см.), применяемый в море для астрономических наблюдений, в) вертикальный круг, высотомер (см.), или эклиметр, висячие полукруги,

Фиг. 2.

г) приборы для определения магнитного меридиана-буссоль (см.), компас (см.), д) инструменты для измерения горизонтальных углов-астролябия (см.), теодолит (см.), простой и повторительный, е) инструменты для измерения горизонтальных и вертикальных углов-пантометр (см.), теодолит сложный, тахиметр (см.) с дальномером и

тахиметр-автомат, ж) фототеодолит, з) уг-лоначертательные приборы-мензула (см.).

IV. Инструменты для нивелирования: а) нивелир (см.) с горизонтальной трубой и уровнем, б) ватерпас (см.) и угло-мерн. инструменты, имеющие трубы и вертикальные круги или секторы, при помощи которых измеряются углы наклона, а по ним определяются превышения.

V. Приборы специального назначения: а) баром,етр (см.), гипсотермометр (см.), альтиметр (см.), при помощи которых определяется разность высот точек, б) маятник (см.) для определения напряжения силы тяжести, в) футшток (см.) и мореграф (см.) для наблюдения колебаний уровня моря, г) фотообъективы, фотоаппараты и различные мелкие принадлежности для аэрофотосъемки (см.), д) аэропланы, специально построенные или приспособленные д.чя аэрофотосъемки.

VI. Приборы для составления и копирования планов и различных измерений на планах и чертежах: а) линейки, треугольники, масштабы, транспортиры и другие чертежные принадлелсности, б) координатографы для построения координатной сети, в) наигографы (см. Пантометр) для копирования планов, карт и чертежей в уменьшенном или в увеличенном виде, г) планиметры (см.) и курвиметры (см.) Д.ЛЯ измерения площадей и длин кривых линий по чертенку, д) фотолабораторные ири-надленсности для наземной фотосъемки или аэрофотосъемки, е) трансформаторы для превращения аэрофотоснршка в другой фотоснимок определенного масштаба, ж) стереокомпараторы (см. Фотограмметрия) для определения координат точек местности по двум стереофотоснимкам, з) автокартографы, автостереографы - сложнейшие новые приборы для автоматического вычерчивания плана или карты с горизонталями по двум фотоснимкам.

VII. Приборы для поверки и испытаний инструментов: а) компараторы (см.) для поверки линейных мер (жезлов, проволок, лент и пр.), б) испытатели уровней, увеличения трубы и пр.

Основною частью почти в.сех Г. п. являются трубы и микроскопы (см.), от оптич. свойств к-рых в значительной степени зависит точность инструментов. В виду сложности Г. п. очень важна общая согласованность разнообразных их частей. Чаще всего в геодезич. практике применяются инструменты для измерения углов и для нивелирования.

Важнейшие части Г. и. следующие: 1) отвесы (см.); 2) уровни (см.), цилиндрические, простые и двусторонние; 3) визирные приборы (см.); простейшим и наименее точным визирным прибором являются диоптры (см.), но в настоящее время в качестве визирного прибора преимущественно применяются астрономические трубы, состоящие из ахроматического объектива и сложного окуляра; 4) лимб-круг, разделенный на градусы или части градусов; 5) верньеры (см.), или нониусы, микроскопы с нитями, микрометры (см.), мерные клинья-для точного определения частей небольших линейных делений или делений лимбов; 6) винты: а) зажимные.

останавливающие грубое движение частей приборов, б) микрометрические, сообщающие малые передвижения частям инструментов, р) исправительные, при помощи которых исправляются погрешности во взаимном ноложении различных отдельных частей прибора, г) становые винты д.тя прикрепления инструмента к штативу, д) подъемные винты для приведения инструмента в горизонтальное положение; 7) подставка и вертикальная ось вращения инструмента: подставка служит для держания всего инструмента и для установки его на штативе, а вертикальная ось нредназначена для вращения инструмента в горизонтальной плоскости на подставках; 8) штативы, служащие для установки инструмента во время работ; для маленьких простых приборов применяют штативы-колья, с железными наконечниками внизу, а для больших инструментов--штативы-треножки.

Упаковка инструментов, как дорогих и точных приборов, д. б. очень тщательной, удобной и прочной. Для перевозки и дальней переноски инструменты укладываются в прочные, но легкие ящики, покрытью лаком для предохранения от сырости. Часто к ящшсам приделываются ручки, pcmin-i и кожаные подушки для удобной переноски. Внутреннее устройство ящика рассчитывается так, чтобы ни одна часть инструмента, кроме подставки, не прикасалась к ящику. В ящике также помещаются все мелкие принадлежности инструментов: масло, отвес, отвертка, ключи к гайкам, шпильки для винтов, окулярная призма, цветные стекла и нр.

Перед работой и после работы каждый инструмент внимательно осматривается и приводится в полный порядок: стекла трубы д. б. промыты чистым спиртом и вытерты замшей, все оси, подъемные, зажимн. и микрометрические винты должны быть промыты керосином, вытерты и не обильно смазашл тонким костяным маслом; после этого следует убедиться, что все двиясения инструмента совершаются бесшумно, плавно, без скрипов и задержек.

Инструмент необходимо подвергать поверкам и исследованиям. Поверки состоят в том, что последовательно рассматриваются геометрические соотношения частей мелоду собой, например: плоскость лимба д. б. перпендикулярна к вертикальной оси вращения инструмента, визирная ось трубы должна быть перпендикулярна к горизоитальпой оси вращения, и т. п. Исследовапие инструмента имеет в виду выявить общие свойства и специальные особенности его. Исследование производится редко: перед работами, при приобретении или при получении инструмента, в лабораторной обстановке, в отличие от поверок, к-рые производятся часто и притом в поле, на месте работ. Исследованию подвергаются: труба, ее части и все качества, Лимб и его деления, верньеры, уровни и их деления и т. д.

Производство Г. п. требует высококвалифицированных мастеров, сложных и дорогих делительных машин и станков для металлических и деревянных частей и оборудования дл0. оптики. В СССР имеются ф-ки Г. п.: Треста точной механики и Геодезия