Литература -->  Графическое определение перемещений 

[ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159

Графическое определение перемещений. Графическ. способам отдают предпочтение, когда требуется определить перемещения целого ряда точек, напр., прогибы всех узлов фермы. В отдельных случаях и для нахождения перемещения одной точки графические приемы могут дать наиболее простое, а иногда и единственное решение, именно, когда аналитич. решение сопряжено с интегрированием сложно интегрируемых или неинтегрируемьЕх ф-ий. Г. о. п. применяется как для систем сплошных (балки, арки, рамы), так и для систем шарнирно-стержневых (фермы). И в том и в другом случае предполагается, как это вообще принято в теории сооружений, что перемещения являются величинами весьма малыми по сравнению с общими размерами тела; поэтому для тел гибких (проволока, кабель и т. п.) излагаемые ниже приемы неприменимы.

Построение перемещений в сплошных системах. В сплошных системах пренебрегают влиянием продольной и поперечной силы на деформации и строят перемещения, учитывая только изгибающий момент. Из теории известно выражение кривизны изгиба: = - где М-

изгибающий момент в сечении, Е-модуль упругости первого рода, I-момент инерции.



сечения и q-радиус кривизны, для которого дифференциальная геометрия дает ур-ие:

1 у .

е [1 + (y)J* Пренебрегая в знаменателе величиной {уУ в виду ее малости по сравнению с единицей, получаем дифференциальное выражение упругой линии в следующем виде:

У EI

Из сопоставления этого ур-ия с ур-ием веревочной кривой (см. Веревочный многоугольник) Ну = -Z, где И-полюсное расстояние, у-ордината кривой и z-ордината эпюры распределений нагрузки, заключаем, что упругая линия может быть построена как веревочная кривая, при условии, что за нагрузку будет взята условная распределенная нагрузка = > а полюсное расстояние Н будет принято равным единице. Построение это вполне аналогично построению эпюры моментов от действительной нагрузки и производится след. образ. За нам

грузку принимают эпюру значений = и делят на возможно большее число частей. Площади каждой такой части, равные As,


Фиг. I.

заменяют равными им по величине сосредоточенными силами W, приложенными в ц. т. этих площадей. Затем эти условные силы W о,шо,я! на ось бруса, направляют их параллельно искомым перемещениям и строят для них веревочную кривую при полюсном расстоянии, равном единице в масштабе силового многоугольника. Ординаты построенной таким образом упругой линии измеряются относительно некоторой замыкающей, способы построения к-рой видны из следующего примера (фиг. 1), в котором для бруса ломаного очертания построены перемещения в трех направлениях: перпендикулярно плоскости подвижности опоры (I), параллельно этой плоскости (II) и в косом напра-

влении (III). При построении перемещеьшй в направлении, перпендикулярном плоскости качения подвижной опоры, замыкающая определяется тем, что в упругой линии точки, соответствующие опорам, не имеют в искомом направлении перемещений, следовательно, замыкающей будет прямая, соединяющая точки, полученные путем снесения на веревочную кривую опор. При определении перемещений в направлении подвижности правой опоры, т. е. в направлении, перпендикулярном предыдущему, замыкающая определяется из условия, что перемещение неподвижной опоры А равно нулю, а поворот сечения бруса на этой опоре, т. е. угол наклона первого луча веревочного м-ка к замыкающей, равен углу поворота, определенному построением (I). Исходя из этих соображений, построение перемещений в этом направлении ведут след. образом: упругие грузы W направляют параллельно направлению подвижности правой опоры и строят для них веревочный мн-к, стороны которого проводятся в направлении, перпендикулярном соответствующим сторонам мн-ка (I). Затем через точку к-рая соответствует неподвижной опоре Л, проводят за-мьжающую под углом в 90° к замыкающей мн-ка в построении (I). Отрезки относительно этой замыкающей а-а-, bo-bi, Cq-o,.. . будут равны перемещениям точек А, В, С,..., а, отрезком М, = fo-fi определится величина перемещения подвижной опоры F. Для нахождения перемещений в косом направлении условные силы W ведут параллельно этому направлению и строят веревочный мн-к при том же полюсном расстоянии Н, как и в построениях (I) и (II). Положение же замыкающей определится тем, что в указанном направлении перемещение левой опоры равно нулю, а правой- проекции на это направление полной величины перемещения правой опоры, т. е. Мcosy.

Если для рассматриваемой системы момент инерции является величиной постоянной, то

величина условной нагрузки = j-g прямо

пропорциональна ординатам эпюры М. В этом случае за нагрузку можно принять площадь эпюры моментов, но так как упругие грузы в этом случае увеличатся в EI раз, то для получения перемещений по-прежнему в масштабе чертежа надо и полюсное расстояние взять соответственно увеличенным в EI раз.

Если сечение балки изменяется так(фиг.2), что в отдельных участках (1-м, 2-м, 3-ми т. д.) моменты инерции Ji, 1, I3 остаются постоянными, то за условную нагрузку целесообразно принять значения нагрузок,



равных Jo, lo, h, и т. д., а полюсное расстояние н взять равным I-EIq, где Jo-произвольно взятое значение момента инерции (на фиг. 2 принято Jo=Ji). В предыдущем изложении предполагалось, что перемещения д. б. построены в масштабе чертела, но т. к. перемещения - величины


Фиг. 2.

весьма малые, то практически их приходится строить в значительно увеличенном масштабе. Для чертежа, построенного в масштабе у натуральной величины и при требуемом увеличении перемещений в m раз против натуральной величины, общее увеличение перемещений против масштаба чертежа будет в тк раз, что достигается путем уменьшения во столько же раз полюсного расстояния, т. е., в том случае, когда за условную нагрузку принята эпюра моментов, полюсное расстояние Н принимается

равным 1-.

Изложенные приемы применимы и для построения перемещений в кривых стержнях (брусьях малой кривизны) в тех случаях, когда возможно пренебречь влиянием на деформации нормальной и поперечной сил (см. Арки). Пример такого построения горизонтальных и вертикальных перемещений для кривого бруса переменного сечения дан на фиг. 3. За упругие грузы в этом построении взяты величины My As, а полюсное расстояние Н принято равным 1 -Шо, где М-среднее значение момента в данном участке As, I - среднее значение момента инерции для этого участка и Jo-нек-рый произвольно выбранный момент инерции.

Построение перемещений в статически неопределимых системах. После того как найдены лишние неизвестные и построена эпюра моментов, построение перемещений в статически неопределимых системах не отличается от такового для систем статически определимых. Па фиг. 4 показано построение прогибов для неразрезной балки постоянного сечения, заделанной на левом конце и с консолью на правом. За условную нагрузку принята эпюра моментов, построенная при помощи фокусных то-

чек (см. Валки неразрезные); полюс выбран так, чтобы первый луч был горизонтальным; направление этого луча будет служить замыкающей, так как ось бруса в месте заделки остается горизонтальной. Построенная упругая линия пересечет эту замыкающую под всеми опорными точками.

Перемещения в фермах. Для нахождения перемещений в фермах выделяют из состава фермы непрерывный шарнирно-стержневой зигзаг, проходящий через опоры и через те узлы, перемещения которых требуется определить (фиг. 5). Образования прогибов в фермах отличаются от таковьсс в системах сплошных тем, что в последних каждому элементу ds оси изгибаемого бруса соответствует угловая деформация, равная

- ds. Эта угловая деформация принимается, при построении перемещений, за элементарный упругий груз W, а вся условная нагрузка в целом представляется в виде эпюры сплошной распределенной нагрузки м

В фермах же, согласно принятой схеме

расчета их как шарнирно-стержневых систем, изгибающий момент в стержнях равен нулю, стержни, составляющие ферму, остаются прямыми, и угловые деформации М имеются только в узлах системы. Следовательно, перемещения выделенного из состава фермы зигзага (фиг. 5) зависят от сосредоточенных угловых деформаций-углов в между его сторонами и от удлинений его сторон S. Перемещения, вызванные угло-вьпйи деформациями в узлах, на основании рассуждений, аналогичных сделанным по отношению к сплошньш системам, могут быть построены, как веревочный многоугольник для сосредоточенных упругих грузов Wjc, равных угловым деформациям Дб в узлах шарнирной цепи. Величины этих последних определяются из условия деформации всей фермы; способы определения их указаны ниже. Перемещения, получающиеся в зигзаге шарнирной цепи в результате удлинения ее сторон, м. б. также получены при помощи веревочного мн-ка путем выражения


Фиг. 3.

их через упругие грузы W. Действительно, перемещения, вызываемые удлинением какого-нибудь стержня S]c на величину AS, могут быть представлены как сумма двух



[ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159