определяться 3 слагающими ех, %у и е. В конечном преобразовании эти зависимости приводятся к виду:

= Х{ех + вуу + е,) + 2,ие.х

Пуу = Квхх + + ез) -f 2fiey

nz = Кхх + уу + <zz) + sy ~ fxy

в этих выражениях Я и -коэфф-ты (предложение Lame). В технике вместо этих коэффициентов обычно пользуются модулями упругости: продольной Е и поперечной G, а таклее коэфф-том г] Пуассона, выражая эту зависимость так:

(1 + г)(1-2 г) 2(1 + ?)

Подставив эти значения в выражение (7), получим:

+ Cy

XX +

Величины же слагающих Д. выразятся так:

yy-V{ncc-\-n,)]

(10)

При рещении техническ. задач о величине и распределении напряжений в упругом теле приходится определять их по заданным внещним силам. Шесть слагающих напряясе-ний в любой точке тела связаны между собой, как известно, следующими тремя дифференциальными ур-иями равновесия:

(11)

в к-рых X, Fj, и Zj,-слагающие объемного веса. Этих ур-ий, как известно, недостаточно для определения напряжений. Но т. к. вызываемые этими напряжениями Д. доллшы удовлетворять щести дифференциальным зависимостям (3) и (За), то, с присоединением их к ур-иям (11) и составлением условий равновесия на поверхности тела, получится достаточное число условий для определения слагающих напряжений. Зная последние и пользуясь выражениями (10), можно определить величины слагающих Д. (ва-д., ..., буз), после чего задача сводится к определению перемещений U, V и. W, что может быть вьшолнено путем интегрирования системы линейных уравнений (1) и (1а). Проведение этих расчетов относится к задачам теории упругости.

Плоская задача. Д. называется плоской, если перемещения всех точек тела параллельны одной и той же плоскости. В этом случае перемещения 17 и F будут ли-

нейными функциями координат х я у, а перемещение W== О. В частных случаях возможно наложение условия действия по направлению оси Z равномерного растяжения или слсатия, в каковом случае перемещение W будет линейной функцией от г. К такому виду плоской Д. приводится больщое число технич. задач, в к-рых длинное тело молено рассечь параллельными плоскостями на отдельные элементы, находящиеся в одинаковых условиях Д. В связи с таким предположением будет иметь место ряд упрощений, а именно: 1) слагающие напрялеений tj.g= О и tys = 0; нанряжение или равно О или м. б. выражено в функции п. и Пу; 2) слагающие деформаций 6 = О я eg = 0; слагающая Д. е, или равна О или представляется постояв. величиной. Соответственно этому: а) дифференциальные уравнения равновесия (11) приводятся к двум уравнениям:

+ -Г+F,= 0; (12)

дхх , dtrcy 1 v л. дх ду di

б) кроме того,

Щг= (Пх + Пуу) ;

в) дифференциальные зависимости (3) между соответствующимиД. приводятся к одной:

%гх , дРуу д%гу (Л о\

ау ох dxdy

Остальные зависимости

тождественно удовлетворяются; величины (10) слагающих Д. приводятся к виду:

хх - (хх y$j) уу ~ Ё Оуу ~ Vxx) >

ху -

2(1 + п) . ii У G У

(14)

Такие же упрощения получаются, когда упругое тело представляется в виде тонкой цилиндрич. пластинки, толщиной 2h. Для срединной плоскости XF такой пластинки слагающие напрялеений п. и Пуу определяются ур-иями вида (12); что касается величины напряжения щ, то, т.к. оно по крайним плоскостям пластинки равно О, его с достаточной степенью точности можно принять рав-щ>ш О по всей толщине тонкой пластинки.

Переход от нространственного упругого тела к плоскому позволяет применить для изучения распределения Д. и напряжений оптический метод. Начало метода можно видеть в опытах Брюстера (1815 г.), который показал, что нек-рые изотропные аморфные тела, обычно оптически постоянные по всем направлениям, под действием внещних сил, т. е. под влиянием происходящих при этом Д., временно 14зменяют свои оптическ.свойства и становятся, как говорят, двупреломля-ю щ и м телом, т. е. об-нарулшвают в поляризованном свете явления хроматической поляризации. Фиг. 1.

Предпололшм, что на

прямоугольную стеклянную пластинку, находящуюся под действием равномерно распределенных по ее граням давлений и щ. (фиг. 1) падает поляризован, луч света DD с

колебаниями, направленными по OA. Как только под действием внешн. сил в пластинке возникнут неодинаковые деформации по направлениям X и Y, распространение световых колебаний по этим направлениям будет происходить неодинаково, и пластинка станет двунре-ломляюпдей, вследствие чего плоскополяризован-ный луч разложится на два взаимно перпендикулярных колебания. Т. к. скорости гя; и Vy распространения колебаний будут неодинаковы, то после прохождения луча через пластинку толщиной с, будет получаться разность Д хода обоих лучей, пропорциональная произведению разности скоростей (v-Vy) на пройденный путь:

A = ki- - Vy), где fci-постоянная величина, не зависящая от свойств материала. Чем больше будет разность скоростей, тем больше будет разность напряжений и соответствующих им Д, а потому

v-Vy= к,(щ1-щд; отсюда следует, что

Пц - W22 - /с -

где к - коэффициент оптической упругости; он различен для разных материалов (для стекла принимают к равным 40 000 кг/мм). Т. о., запаздывание в лучах будет характеризовать разность главных на-прялеений (Идд. - Wjj,) и, следовательно, будет определять величину наибольшего касательного напряжения: t=y (Щг-Щ)- На анализаторе, воспринимающем на себя нучок поляризованных лучей, пропущенных через испытуемую пластинку, это явление запаздывания будет характеризоваться появлением окрашивания пластинки. В зависимости от распределения Д. пластинка будет окрашиваться в различные цвета; в случае однородной Д. изменение цвета будет одинаковым по всей пластинке; если в зависимости от односторонних или местных нагруже-ний Д. будут распределяться неодинаково по пластинке, то распространение окрашивания будет характеризоваться различными цветами, к-рые будут распределяться в виде цветных кривых (радуг или колец Ньютона), форма и густота которых бывает различна (см. табл.). В частном случае, когда главные напряжения nii=w.;2, разность между ними равна нулю, и, следовательно, Д. буд>т равны между собой, разности в раснростране-нии лучей не будет, а потому и не будет окрашивания. Т. о., применение ноляриза-ционного метода для изучения пластинок, подвергающихся напряжению, позволяет непосредственно установить распространение Д. и напряжений в испытуемом образце. Преимущество его заключается в том, что

Хроматический масштаб напряжений для ксилонито-вого (целлюлоидного) образца, толщ. 6 мм, сечениембО мм.

ОН дает возмолшость выявить картину распространения напряжений и Д. для таких сложньгх моделей, для к-рых теоретич. решение или затруднительно или даже невозможно. На вкладных листах дан ряд цветных фотографий, показывающих распространение Д. и напряжений в различных моделях. Этот метод м. б. использован также для определения величины разности главньгх напря-лсений. Для этого достаточно рядом с испытуемым образцом поместить эталонный стержень из того же материала и подвергать его равномерному растяжению с измерением действующей на него силы. Сопоставляя изменение цветов этого эталона при различных напряжениях в нем с цветами на испытуемом образце и следя не только за цветом, но и за его порядком, можно с достаточной степенью точности определить количественное распределение напряжений.

Оптическ. метод позволяет рассматривать распределение Д. только в условиях плос-ской задачи. Но именно то обстоятельство, что при рассмотрении, в условиях плоской задачи, простых (односвязных) контуров распределение напряжений в пластинке, как показал М. Леви, не зависит от упругих постоянных Е и rj, придает большое значение этому методу, т. к. устанавливает возмоле-ность изучать любые модели из прозрачных материалов, необьганых для этих моделей, с полной уверенностью в том, что при изготовлении этих моделей из стали и др. изотропных материалов напрялсения в них будут распределяться так же, как и в прозрачных материалах. И. Мишель показал, что в случае многосвязных контуров распределение напряжений не зависит от упругих свойств материала, если внешние силы, приложен, к каждому отдельному контуру, представляют систему сил, взаимно уравновешивающихся, или систему, приводящуюся к паре.

Для оптич. исследований применяют специальные приборы, изготовляемые оитич. фирмами. На фиг. 2 показана схема установки Цейсса; в основе она состоит из двух скрещенных призм Никеля - поляризатора Р и анализатора А, между которыми помещается испытуемый образец в прессе Q; изображение получается на плоскости ММ в особой камере. Более простую и легко вьь полнимую конструкцию представляет уста-

ДЕФОРМАЦИЯ

т 7

1. Траектории касательных напряжений при изгибе балки (вверху уточки приложения груза влияние местных нагружений). 2. Простое растяяёение. 3. Сжатие цилиндра. 4. Схема распределения напряжений, возникающих при прессовании. 5, 11, 12. Схемы распределения напряжений при прокатке. 6, 7,8,9, 10 и 13. Распределения напряжений, наблюдаемые в различные моменты прокатки.

Т.Э.

., ГЕ0КаРТПР0М1.,по-;Ъ1