перемещений (фиг: 6): 1) перемещения любой точки зигзага правее узла к на величину в результате чего правый концевой шарнир цепи сместится также на величину ASjt,

Фиг. 4.

и 2) перемещений всех точек цепи как жесткого целого до совмещения правого концевого узла с направлением плоскости подвижности. Первое из этих перемещений по рассматриваемому направлению для всех правых точек определяется величиной h.Sk sin Qj. Второе для всех точек цепи определяется формулой: Д0ц-а; = где

-поворот цепи вокруг левого опорного шарнира; х-расстояние рассматриваемой точки относительно левого опорного шарнира. Легко видеть, что сумма этих перемещений может быть получена как результат действия пары сил, приложенных к

ФПГ. 5.

шарнирам к - 1 и 7с цепи, т. е, по концам стержня Si, по направлению искомого перемещения и равных каждая: TF=-tgaj. Момент этой пары:

Щ -tga COS = Sin Ofc ,

т. е. равен перемещению всех правых точек цепи. Вызьшаемая же ее действием фик-

тивная опорная реакция на левом конце ASk-sin дд/ равна углу поворота

цепи как одного жесткого целого вокруг левого шарнира. Выбор направления сил пары делается в зависимости от вида перемещения, вызьшаемого удлинением стороны Sjc- Если это удлинение вызывает перемещение всех правых точек цепи книзу.

Фиг. 6.

то паре дается направление положительного момента, т. е. по ходу часовой стрелки; если же все удлинение таково, что смещение правых точек происходит кверху, то паре сил дается направление, вращающее против хода часовой стрелки. Т. о., упругий груз W в узле к при положительном значений углов а и удлинении сторон и S+i, будет определяться выражением вида:

Первый член правой части учитывает влияние на перемещение угловой деформации Ав,. шарнирной цепи, а второй и третий- влияние линейньгх деформаций сторон зигзага. Если стержни зигзага горизонтальны, то тангенсы углов наклона стержня к горизонту обращаются в нуль, второй и третий член в выражении упругого груза пропадают, и вычисление упругого груза упрощается. Первый член выражения упругого груза, т. е. угловую деформацию А0, можно подсчитать или исходя из аналитич. приемов определения деформаций или из геометрич. соображений. Первый способ, наиболее общий и пригодный для любой фермы, заключается в нахождении углового перемещения по следующей формуле (Мора)

где О) обозначает площадь сечения стержня, S-длину стержня, N-значение усилия в элементе фермы от данной нагрузки (первое состояние). Ж-значение усилия в элементе фермы от единичной нагрузки второго состояния. Т. к. искомое перемещение представляет собой от-

носительн. угол поворота между двумя стержнями фермы, то за систему сил второго состояния принимаются две пары, равные единице, против о-положные по знаку

приложенные к этим

стержням и Sjci- Следовательно, величины

этих сил соответственно равны -щ и ;

направление их берется таковым, чтобы угол получал положительное приращение.

Если ферма состоит из простых тр-ков, то приращение любого угла тр-ка легко определяется по следуюш;им ф-лам (фиг. 7). Для определения деформации угла тр-ка Qa прикладываем к сторонам его и по паре

с силами и . Тогда усилия от этих пар

в сторонах тр-ка будут:

Т.о., деформация угла Дб представится в следующем виде:

COS вь- - cos в,.

ha ha ----О ha

Заменяя в этом выражении величины h через равные им величины й = sin 0; Л = = Sb sin 0; Sa = к (ctg 0c + ctg 0j) и сделав приведение, получим:

Так как относит, удлинение =

где п-нормальное напряжение, то предыдущее равенство м. б. выражено так:

Е = - П,) ctg 06 + (И - Щ) ctg в,.

Вообще же, если угол в, образуемый шарнирной цепью, слагается из нескольких

Фиг. 8.

углов тр-ков, входящих в состав фермы, то величина упругого груза W, зависящего от деформации Д0й, м. б. вычислена по ф-ле:

TTfc = Д0й = 2 1(Па - Пе) ctg 06 +

Если производится вьгаисление упругих грузов W в зависимости от угловых деформаций Д0 цени и удлинений AS стержней цепи, т. е. по формуле:

W, = Щ~~ tga,+ tg а,+

ТО при этом учете парам сил, определяющим 2-е состояние загружения, надо дать направление искомого перемещения (фиг. 8), т. е. приложить к сторонам цепи пары с силами

1 1 1 1

dk Sk cos aft dk+1 Sfc+1 COS aft-f-i

Эти силы, будучи разложены по направлениям, перпендикулярным к стержням цепи, и по направлению стержней цепи, приве-

дутся: 1) к парам с силами и определяющим влияние деформации угла Ав, из, величину упругого груза и 2) к продольным силам:-Jtgoj и gtga+j, определяющим влияние деформаций сторон ASji, и ASjfi на величину упругого груза. Переходя

к напряжениям, можно пользоваться следующим выражением для упругого груза Ж,: EW], = ЕАв± Wi i tg aft i,;t ± tg at Для примера последовательности построения на фиг. 9 показано построение прогибов нижнего пояса консольной фермы. В виду того, что все элементы зигзага горизонтальны, второй и третий члены в выражении упругих грузов отпадают. Чтобы получить прогибы, увеличенные в к раз против натуральной величины при масштабе чертежа в ,

полюсное расстояние взято равным Н= -- (в масштабе упругих грузов). На построенный для упругих грузов веревочный мн-к снесены опорные точки и проведена замыкающая прямая, относительно которой измеряются прогибы узлов системы. Иногда для упрощения расчетов упругие грузы W вычисляют только по деформациям поясов, т. е. пренебрегая деформацией решетки. Этот прием, однако, влечет за собой довольно значительную погрешность в конечных величинах прогибов. Графическое определение м. б. также применено для построения горизонтальных составляющих перемещений узлов, подобно тому как это было показано для сплошных систем. к такому построению приходится, напр., прибегать при нахождении перемещения в трехшарнирных арках (фиг. 10). В этих системах нельзя непосредственно определить искажение угла в шарнире а5) арки по выведенным выше ф-лам; нахождение его делается на основании следующих соображений. Горизонтальное перемещение правой опоры, равное нулю, вследствие неподвижности обеих опор арки, м. б. рассматриваемо как сумма двух перемещений: 1) перемещения в результате искажения всех углов, кроме угла в шарнире S, и удлинения всех сторон зигзага и 2) перемещения в результате искажения угла в

Фиг. 9.

шарнире. Обозначая первое из этих перемещений через А1, получим Al+f- Д0, = О, где f-расстояние шарнира /S от линии перемещений. Величина перемещения А1 слагается, как указано выше, из перемещения

AV, вызьшаемого деформациями углов Ав цепи, и перемещения А1 , вызываемого деформациями AS стержней цепи. Первое из них может быть определено путем построения веревочного мн-ка (фиг. 10, И) для горизонтального направления упругих грузов

Фиг. 10.

Wjc = Ав, второе м. б. вычислено по фор-

муле А1 = 2 cos а., где удли-

нение стороны цепи, а а.-угол наклона ее к линии перемещения. Таким образом, для определения абсолютной величины деформации угла при шарнире S мы будем иметь:

Когда определена величина Ав, построение линии прогиба арочной фермы делается путем построения веревочного мн-ка для упругих грузов W=Ae, включая в число их и упругий груз TF, = A0g. На фиг. 10, I, показано построение этого многоугольника с полюсным расстоянием Н =1.

Диаграммы Вилли о. При построении перемещений методом упругих грузов получаются не действительные перемещения, а их слагающие по заданному направлению. Если требуется найти действительное перемещение узлов, то следует построить перемещения в двух направлениях и найти их геометрические суммы.Кроме такого приема, можно прибегнуть к особому методу, носящему название диаграммы Виллио, дающему в одном построении полные перемещения всех узлов фермы. Построение это основано на следующих соображениях. Геометрическая схема деформированного состояния фермы определяется тем, что образующие эту ферму треугольники составлены из Стержней, получивших под влиянием нагрузки то или иное приращение длины. Однако, получить схему деформированного состояния фермы путем непосредственного геометрич. построения тр-ков по их деформированным сторонам практически нельзя, т. к. приращения длин стержней-величины весьма малые, в масштабе фермы выражающиеся ничтожными отрезками, и, следовательно, точность такого построения была бы

весьма малой. Взамен этого в диаграмме Виллио приращения длин и перемещения узлов строятся на особом чертеже отдельно от чертежа фермы и в значительно увеличенном масштабе. Построение это основано на следующих соображениях. Предположим (фиг. 11), что мы имеем шарнир С, связанный стержнями АС я ВС с шарнирами An В. Требуется найти перемещение dg шарнира С в результате того, что шарниры А и В получили перемещения Уд и rfj равные А-а и В-Ь, а стержни АС vs. ВС получили приращения длины, равные ASae и - Д-йс-Если бы рассматриваемые стержни не были связаны с шарниром С и перемещались параллельно самим себе, то в результате перемещений шарниров А п В и удлинений стержней АС и ВС точка С стержня АС переместилась бы в точку с, а точка С стержня ВС-в точку с . Но т. к. эти точки связаны шарниром С, то вращением стержней АС и ВС, длиною Sac+ASac и Sbc- ASbe, вокруг точек а и & надо совместить точки с и с и найти истинное положение шарнира с и, следовательно, его перемещение С-с. Дуги окружности при построении перемещений от вращения можно заменять перпендикулярами к радиусам вращения, в виду того что приращения ASc и ASjg-величины весьма малые по сравнению с длинами Sae и Sffc- Само же построение можно отделить от чертежа стержней и сделать в стороне.

ч \ \

/iSbc \ [с------

Фиг. 1 1.

Пользуясь этим приемом, построение диаграммы Виллио ведут в следующем порядке (фиг. 12). Предварительно подсчитывают приращение длин стержней под влиянием усилий в них и температурных изменений по формуле:

S, = .S, + a.t-S

где N]-усилие в элементе к, со-сечение элемента, as.-длина элемента, t-приращение темп-ры и а-коэфф. расширения. Затем, чтобы диаграмма получилась более компактной, предполагают первоначально, что один из узлов, ближайпшх-к средине, напр., узел G, неподвижен, а направление одного из элементов, выходящих из этого узла,