fix), получим третью производную f (x), или ~, и т. д., наконец, п-ю производную f\x) = Следует отметить частные случаи:

-f,x-=n(n-l)x-\..., 5,а[; =<м-1)...2-1=п!,

dx - ВСЯКОГО п).

Для п-й Производной произведения двух ф-ий существует ф-ла Лейбница:

+ (;)tt( -2V+ ... +гt< где есть биномиальный коэффициент:

/7l\ pk n(n-i)... (n-fe+l) \k) ~ 1-2 ... fe

Дифференциалы функций. Производная определяется как предел; из определения предела следует, что переменная отличается от предела на величину бесконечно малую,

следовательно, ~ = f{x) + , где а - бесконечно мало при бесконечно малом Дж; освобождаясь от знаменателя, находим:

Д?/ = /(ж)Дж + аДж; последнее слагаемое есть бесконечно малая высшего порядка сравнительно с Дж; отбрасывая его, получим выражение, отличающееся от Ау на бесконечно малую высшего порядка; это выражение назовем дифференциалом от у и обозначим dy. Итак, dy = = f{x) Дж. Полагая, в частности, /(ж) = ж, найдем: йж = 1 Дж = Дж. После этого молеем написать: dy = f(x)dx.

Примеры: d sin ж = cos ж dx; d{x ) = = пж - dx.

Таким образом, обозначение для /(ж)

можно рассматривать как частное диффе-решщалов от г/ и ж. Так как dx= Ах, то можно считать dx постоянным или переменным (в частности, бесконечно малым), но во всяком случае независимым от ж; итак, dy есть функция от двух независимых между собой переменных ж и dx. Во всех приложениях мы можем заменять приращение функции Д ее дифференциалом dy, так как на результат последующего перехода к пределу (производная или интеграл) не повлияет отброшенное бесконечно малое высшего порядка. Если ж есть независимое переменное, то легко найти дифференциал от dy, или второй дифференциал от у; при этом мы должны рассматривать dx как постоянное; получаем:

d{dy) = dhj = [fXx)dx]dx = fXx)dxK Аналогично, dy= f \x)dx и т. д.; dy pi-тается: d два от у и обозначает 2-й дифференциал; dx есть квадрат дифференциала dx [следовало бы его писать {dxf\. В случае независимого ж имеем dx = d{dx) = Ь, как дифференциал от ностоянного.

Замена переменных при дифференцировании. Пусть дана ф-ия 2/ =/(ж); ж - независимое

переменное. Тогда можно вычислить ~, и т. д. Затем вводим новое независимое пере-

менное например, ж = 9(0; .г/ становится ф-ией от f и имеет производные

Требуется выразить производные от т/ по ж через производные от у по *

dx

d.x d(

t; имеем: ~ =

Применяя эту формулу улсе пе к у, а к получим выражение 2-й производной: /dy \ /dyx

d - А.

dx\dx) ~

dx \di dx dy dy dx dtdV~W di

EL dx

\d-t I

Тем же путем получим выражения для дальнейших производных. Пусть, в частности, новое независимое переменное есть у; тогда,

как уже видели, j5 = -j-; вычислим вы-

ражение 2-й производной:

dy d/dy\ dx dx\dx)

dx dy dx ~dy \dy/

dx\3 dy)

Пример. Пусть замена переменного есть

X = ё; тогда = е; = е-*%; Ц = ~-fe-U dl dx dt dx йху dl)

dt[ dt)~dV-- dt-- W-dtj-Теоремы Ролля, Лагранжа и Ноши. Теорема Р о л л я утверждает: если /(ж) всюду в интервале (а, Ъ) имеет производную и если

Фнг. -.1.

Фиг. 3.

/(а)=0, /(Ь)=0, то найдется точка с этого интервала, в которой значение производной равно нулю: /() = 0. Геометрич. сьшхсл этой теоремы: если кривая y=f{x) пересекает ось абсцисс в точках а и Ь, то в некоторой промежуточной точке касательная параллельна оси абсцисс (фиг. 2). Теорема Л а г р а н-ж а, или теорема о конечном приращении, ут-верлздает: если /(ж) имеет производную всюду в интервале (а, Ь), то найдется внутри его

такая точка , что J- = /(?) Геометрически это означает, что на дуге кривой у= =/(ж) между точкалш А vl В найдется точка М, касательная к которой параллельна секущей АВ (фиг. 3). Очевидно, теорема Ролля есть частный случай данной. Теорема К о ш и: если две функции /(ж) и q){x) дифференцируемы в интервале (а, Ъ) и их производные не обращаются одновременно в нуль, то найдется точка е интервала (а, Ъ), для которой имеет место след. равенство:

ПЬ) -Ка)

<p{S)

Фиг. 4.

?>(b)-<p(a)

Теорема Лагранжа является частным случаем этой, когда <р{х)=х.

Максимум и минимум функций. Ф-ия /(ж) имеет в точке максимум (относительный), если ее значения для всех достаточно близких точек меньше, чем значение /(Жд); если же все значения ф-ии в близких точках больше ее значения в точке Жо, то она имеет минимум (относительный) приж=Жц. Необходимое условие максимума или минимума в точке Жо есть обращение производной в этой точке в нуль (фиг. 4). Для того чтобы отличить максимум от минимума, исследуют знак 2-й производной; если /(Жо)=0 и / (ж) < О, имеем максимум; если /(ж ) = 0 и / (ж) > О,-минимум. В случае f ix )=() надо исследовать производные высших порядков.

Пример. Найти максимум и минимум ф-ии /(ж)=2жЗ-9ж2--12ж-3.

Находим /(ж) и приравниваем ее нулю: 6ж2-18ж 4-12=0. Отсюда находим значения ж=1, ж=2, в к-рых ф-ия может иметь максимум или минимум. Для дальнейшего исследования находим / (ж) = 12ж -18. При ж=1 имеем: / (1) = - 6(<0)--максимум; приж=2 имеем f (2) = -Ьб(>0)-минимум. Соответствующие значения функции: /(1) = 2; /(2) = 1. Неопределенные выражения. Имеем част-

f(x)

ное двух ф-ий ~; пусть при ж = ж и числитель и знаменатель обращаются в нуль: Kxq)=(p(x)=0; тогда значение ф-ии получает о

форму

Дадим функции

и арифметически неопределенно.

/(X)

<Р{Х)

нахождение

в точке Жо значение

этого предела на-

зовем раскрытием неопределенности. При помощи теоремы Коши доказывается, что в рассматриваемом слчае

lim = Иш Цр7, если последний предел

существует; если хоть одно из чисел f{x, <р\Хо) не равно нулю, мы арифметически получим значение предела [конечное или бесконечное, если (р(Хо)=0}- Щ = Жо опять имеет форму , применяем тот же процесс еще раз: Иш = lim {-т и т. д.

Пример. при ж=0 имеет вид .

По указанному правилу, lim lim

опять форма ; применяем пра,вило еще раз:

1 - cos X

= lim

ХО 2 2

Если /(Жо)=оо, у(.То)=оо, получаем неопре-

деленное выражение вида - ; правило раскрытия неопределенности остается то ше:

х- х.

/(X)

ч>{х)

= lim х->х.

в обои:з слаях ж мо-

жет стремиться не к конечному значению Жц, а к оо. Далее, если /(Жо)=0, а 95(Жо)=оо, то значение ф-ии /(ж) (ж) принимает неопределенную форму О-со; представляя функцию в

виде, нанр.,- , сводим к первому случаю.

ч>{х)

Пример, lim ж е-=

х->со п!

,. хп ,. пх -

= lim =lim

.х->-оо х->оо

= ... = lim -=0. Предварительным лога-

Х->со

рифмированием приводятся к рассмотренным случаям неопределенности: О , 1°°, оо .

Ряды Тейлора и Маклорена. Если /(ж) непрерывна вместе со своими производными (до п-го порядка включительно) в интервале (а,Ъ), то для всякой точки ж этого интервала существует равенство:

т=т + -,/ ( )+-

Это~р яд Тейлора с остаточным членом Л ; для остаточного члена имеем, напр., выражение: R,= / (g), где §-некоторое среднее значение между а и ж, а именно § = а+&(х-а), где 0<<1. При п = 1, как частный случай, получаем теорему Лагран-жэ.. Если для некоторых значений ж остаточный член jB,j->0, можем для этих значений представить /(ж) в виде бесконечного (сходящегося) ряда Тейлора (см. Ряды):

т = /(а) +Па) + %Па) + ...

.. + Г(а)+...

В этом случае функция /(ж) называется аналитической. В частности, при а=0, получаем ряд Маклорена:

/( ) = /(0)-l-f/(0) +

+ 5г(0)+...

Приводим разложение некоторых функций в ряд Маклорена:

Эти ряды сходятся при всех значениях ж. ln(l-fж)=-f-f l-f-f...;

(1+ж) =1+ж-ьЬж--

, т(т-1)(т- 2) j f 1.2-3 *

(Последняя ф-ла-обобщенная ф-ла бинома, где m-любое действительное число). Эти два ряда сходятся при ж < 1.

Частные производные, полный дифференциал. Пусть дана ф-ия w=f{x,y, z) трех независимых переменных ж, у, z. Частной производной от WHO ж называется производная, к-рая получится, если остальные аргументы рассматривать как постоянные. Ее обозначения: , или , или Wx, или . / = lim (- + Z) -/(X. у. г)

Аналогично определим и . Рассулсдение

применимо к любому числу независимых переменных, большему 1. Пример:

и = х

sin у

sin у - 1

ди sin у dy

In X COS у .

Беря частные производные от частных производных, получим частные производные 2-го порядка: fx, fxy и т. д. Имеет место теорема: результат дифференцирования по од-1шм и тем же аргументам не зависит от порядка последовательных дифференцирований. В частности, например, f (ж, ?/,...) = Ux (х> У,---)- Вторые производные можно записывать таклге в следующей форме:

Ixr дх У У дхду

Так же определятся третьи производные: а/ dt дх дхЮу дхду Полная производная. Пусть iv = =f{x, у, z), где X, у, Z-ф-ии независимого переменного t; w есть сложная функция от t. Производная от w по t назьшается полной производной; ее выражение:

dw dw dx , Sw dy , dw dz

dt dx dt

dt~ dz dt

Производная неявной функции. Утр-кеЕ(х,у)=0 определяет у как неявную ф у н к ц и ю от ж; для нахонсдения ~

берем полную производную частей уравнения:

по ж от обеих

от1!;уда

Полный дифференциал div функции w=f{x, у, z) определяется так:

дх + -%У+ dz здесь дифференциалы независимых переменных опять можно считать равными их приращениям; доказьшается, что dw отличается от полного приращения ДШ=/(ж+Аж, у-\-+ Ау, z + Az)-f{x, у, z)im бесконечно малую высшего порядка.

Ряд Тейлора для ф-ии двух переменных имеет вид:

fix, у) = /(а, Ъ) + - (а, Ь) + / (а, Ъ) + + i- [(ж-аШ (а,&) + 2(ж - а) (у- b)fj (а, Ъ) +

+ iV-b)4;yia, + . .. Максимум и минимум функции от двух независимых переменных. Чтобы найти максимум и минимум fix, у), поступаем след. обр.: приравниваем нулю частные производные 1-го порядка; получаем 2 ур-ия: /(ж, у)0, fyi, ?/) = 0; совместные решения этих ур-ий дают точки, в к-рых ф-ия может принимать наибольшее или наименьшее значение. Для дальнейшего исследования вычис.чяем значения вторых производных в точке (а, Ь): /-(а, Ь)=А; r,yia, Ь) = Б;

Uyia, Ь)=С; составляем выражение - АС; тогда име-

ем правило: если В - АС>, в точке (а,Ь) нет ни максимума ни минимума; если же В-< О, то имеем максимум при < О (и С < 0) и минимум при J. > О (и С>0). Если же В~АС, метод не дает ответа.

Пример, fix, у) = Зху - х - у. Приравниваем нулю первые производные: Зу - - Зж=О, Зж - Зу=О. Совместные решения ж=0, у=0; ж=1, у = 1. Вторые производные f/x= - 6ж, /;V=3, f:/y= - 6г/. Для точки (0,0) В - АС = 9 ( > 0) нет ни максимума ни минимума; для точки (1,1) В - АС= - 27 (< 0); J. = - 6 ( < 0),-имеем максимум.

Лит.: Грэнвиль В., Элементы дифференциального и интегрального исчислени!!, ч. 1-Диффереи-ниальное исчисленпе, М.-Л., 1928; Ф и л л и н с Г., Дифференциальное исчисление, пер. с англ., М.-Л., 1926; Гурса Э., Курс математич. анализа, т. 1, Москва, 1911. В. Степанов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, механизмы, в к-рых результирующее движение пропорционально разности (или сумме) составляющих движений. Наиболее часто применяются на практике дифференциальные механизмы: дифференциальная зубчатая передача (см. Дифференциал) и дифференциальный блок Вестона(см. Блоки).

Дифференциальный винт, изобретенный Прони, широко применяется в

Фиг. 1.

микрометрах, делительных машинах и физич. приборах (фиг. 1). Одним концом с шагом нарезки t винт ji ходит в станине С, другим-с шагом -в гайке В, двигающейся по направляющим D, D. Перемещения гайки относите.тьно станины определяются из формулы:

где 9?-угол поворота винта относительно станины. Делая разность it-ti) очень малой, можно получить весьма незначительное перемещение ползуна при значительных углах поворота винта А. При постоянном направлении вращения винта А направление движения ползуна зависит от знака разности (t- t). Если одну нарезку сделать правой, а другую левой, то перемещение ползуна будет равно:

При t=ti скорость ползуна вдвое больше скорости поступательного движения винта.

11а том же принципе основана дифференциальная гайка, применяемая, между прочим, для закрепления фрезеров в шпинделе фрезерного станка (фиг. 2). Обе нарезки делаются одного направления, и шаг t> t; отбрасывая влияние трения, получаем, что, при завинчивании гайки моментом Ж, сила, вжимающая конусный хвост фрезера в

Фиг. 2.

A�0. ..�-9B