Литература -->  Графическое определение перемещений 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159

fix), получим третью производную f (x), или ~, и т. д., наконец, п-ю производную f\x) = Следует отметить частные случаи:

-f,x-=n(n-l)x-\..., 5,а[; =<м-1)...2-1=п!,

dx - ВСЯКОГО п).

Для п-й Производной произведения двух ф-ий существует ф-ла Лейбница:

+ (;)tt( -2V+ ... +гt< где есть биномиальный коэффициент:

/7l\ pk n(n-i)... (n-fe+l) \k) ~ 1-2 ... fe

Дифференциалы функций. Производная определяется как предел; из определения предела следует, что переменная отличается от предела на величину бесконечно малую,

следовательно, ~ = f{x) + , где а - бесконечно мало при бесконечно малом Дж; освобождаясь от знаменателя, находим:

Д?/ = /(ж)Дж + аДж; последнее слагаемое есть бесконечно малая высшего порядка сравнительно с Дж; отбрасывая его, получим выражение, отличающееся от Ау на бесконечно малую высшего порядка; это выражение назовем дифференциалом от у и обозначим dy. Итак, dy = = f{x) Дж. Полагая, в частности, /(ж) = ж, найдем: йж = 1 Дж = Дж. После этого молеем написать: dy = f(x)dx.

Примеры: d sin ж = cos ж dx; d{x ) = = пж - dx.

Таким образом, обозначение для /(ж)

можно рассматривать как частное диффе-решщалов от г/ и ж. Так как dx= Ах, то можно считать dx постоянным или переменным (в частности, бесконечно малым), но во всяком случае независимым от ж; итак, dy есть функция от двух независимых между собой переменных ж и dx. Во всех приложениях мы можем заменять приращение функции Д ее дифференциалом dy, так как на результат последующего перехода к пределу (производная или интеграл) не повлияет отброшенное бесконечно малое высшего порядка. Если ж есть независимое переменное, то легко найти дифференциал от dy, или второй дифференциал от у; при этом мы должны рассматривать dx как постоянное; получаем:

d{dy) = dhj = [fXx)dx]dx = fXx)dxK Аналогично, dy= f \x)dx и т. д.; dy pi-тается: d два от у и обозначает 2-й дифференциал; dx есть квадрат дифференциала dx [следовало бы его писать {dxf\. В случае независимого ж имеем dx = d{dx) = Ь, как дифференциал от ностоянного.

Замена переменных при дифференцировании. Пусть дана ф-ия 2/ =/(ж); ж - независимое

переменное. Тогда можно вычислить ~, и т. д. Затем вводим новое независимое пере-

менное например, ж = 9(0; .г/ становится ф-ией от f и имеет производные

Требуется выразить производные от т/ по ж через производные от у по *

dx

d.x d(

t; имеем: ~ =

Применяя эту формулу улсе пе к у, а к получим выражение 2-й производной: /dy \ /dyx

d - А.

dx\dx) ~

dx \di dx dy dy dx dtdV~W di


EL dx

\d-t I

Тем же путем получим выражения для дальнейших производных. Пусть, в частности, новое независимое переменное есть у; тогда,

как уже видели, j5 = -j-; вычислим вы-

ражение 2-й производной:

dy d/dy\ dx dx\dx)

dx dy dx ~dy \dy/

dx\3 dy)

Пример. Пусть замена переменного есть

X = ё; тогда = е; = е-*%; Ц = ~-fe-U dl dx dt dx йху dl)

dt[ dt)~dV-- dt-- W-dtj-Теоремы Ролля, Лагранжа и Ноши. Теорема Р о л л я утверждает: если /(ж) всюду в интервале (а, Ъ) имеет производную и если


Фнг. -.1.

Фиг. 3.

/(а)=0, /(Ь)=0, то найдется точка с этого интервала, в которой значение производной равно нулю: /() = 0. Геометрич. сьшхсл этой теоремы: если кривая y=f{x) пересекает ось абсцисс в точках а и Ь, то в некоторой промежуточной точке касательная параллельна оси абсцисс (фиг. 2). Теорема Л а г р а н-ж а, или теорема о конечном приращении, ут-верлздает: если /(ж) имеет производную всюду в интервале (а, Ь), то найдется внутри его

такая точка , что J- = /(?) Геометрически это означает, что на дуге кривой у= =/(ж) между точкалш А vl В найдется точка М, касательная к которой параллельна секущей АВ (фиг. 3). Очевидно, теорема Ролля есть частный случай данной. Теорема К о ш и: если две функции /(ж) и q){x) дифференцируемы в интервале (а, Ъ) и их производные не обращаются одновременно в нуль, то найдется точка е интервала (а, Ъ), для которой имеет место след. равенство:



ПЬ) -Ка)

<p{S)

Фиг. 4.

?>(b)-<p(a)

Теорема Лагранжа является частным случаем этой, когда <р{х)=х.

Максимум и минимум функций. Ф-ия /(ж) имеет в точке максимум (относительный), если ее значения для всех достаточно близких точек меньше, чем значение /(Жд); если же все значения ф-ии в близких точках больше ее значения в точке Жо, то она имеет минимум (относительный) приж=Жц. Необходимое условие максимума или минимума в точке Жо есть обращение производной в этой точке в нуль (фиг. 4). Для того чтобы отличить максимум от минимума, исследуют знак 2-й производной; если /(Жо)=0 и / (ж) < О, имеем максимум; если /(ж ) = 0 и / (ж) > О,-минимум. В случае f ix )=() надо исследовать производные высших порядков.

Пример. Найти максимум и минимум ф-ии /(ж)=2жЗ-9ж2--12ж-3.

Находим /(ж) и приравниваем ее нулю: 6ж2-18ж 4-12=0. Отсюда находим значения ж=1, ж=2, в к-рых ф-ия может иметь максимум или минимум. Для дальнейшего исследования находим / (ж) = 12ж -18. При ж=1 имеем: / (1) = - 6(<0)--максимум; приж=2 имеем f (2) = -Ьб(>0)-минимум. Соответствующие значения функции: /(1) = 2; /(2) = 1. Неопределенные выражения. Имеем част-

f(x)

ное двух ф-ий ~; пусть при ж = ж и числитель и знаменатель обращаются в нуль: Kxq)=(p(x)=0; тогда значение ф-ии получает о

форму

Дадим функции

и арифметически неопределенно.

/(X)

<Р{Х)

нахождение

в точке Жо значение

этого предела на-

зовем раскрытием неопределенности. При помощи теоремы Коши доказывается, что в рассматриваемом слчае

lim = Иш Цр7, если последний предел

существует; если хоть одно из чисел f{x, <р\Хо) не равно нулю, мы арифметически получим значение предела [конечное или бесконечное, если (р(Хо)=0}- Щ = Жо опять имеет форму , применяем тот же процесс еще раз: Иш = lim {-т и т. д.

Пример. при ж=0 имеет вид .

По указанному правилу, lim lim

опять форма ; применяем пра,вило еще раз:

1 - cos X

= lim

ХО 2 2

Если /(Жо)=оо, у(.То)=оо, получаем неопре-

деленное выражение вида - ; правило раскрытия неопределенности остается то ше:

х- х.

/(X)

ч>{х)

= lim х->х.

в обои:з слаях ж мо-

жет стремиться не к конечному значению Жц, а к оо. Далее, если /(Жо)=0, а 95(Жо)=оо, то значение ф-ии /(ж) (ж) принимает неопределенную форму О-со; представляя функцию в

виде, нанр.,- , сводим к первому случаю.

ч>{х)

Пример, lim ж е-=

х->со п!

,. хп ,. пх -

= lim =lim

.х->-оо х->оо

= ... = lim -=0. Предварительным лога-

Х->со

рифмированием приводятся к рассмотренным случаям неопределенности: О , 1°°, оо .

Ряды Тейлора и Маклорена. Если /(ж) непрерывна вместе со своими производными (до п-го порядка включительно) в интервале (а,Ъ), то для всякой точки ж этого интервала существует равенство:

т=т + -,/ ( )+-

Это~р яд Тейлора с остаточным членом Л ; для остаточного члена имеем, напр., выражение: R,= / (g), где §-некоторое среднее значение между а и ж, а именно § = а+&(х-а), где 0<<1. При п = 1, как частный случай, получаем теорему Лагран-жэ.. Если для некоторых значений ж остаточный член jB,j->0, можем для этих значений представить /(ж) в виде бесконечного (сходящегося) ряда Тейлора (см. Ряды):

т = /(а) +Па) + %Па) + ...

.. + Г(а)+...

В этом случае функция /(ж) называется аналитической. В частности, при а=0, получаем ряд Маклорена:

/( ) = /(0)-l-f/(0) +

+ 5г(0)+...

Приводим разложение некоторых функций в ряд Маклорена:

п!

7!

6!

Эти ряды сходятся при всех значениях ж. ln(l-fж)=-f-f l-f-f...;

(1+ж) =1+ж-ьЬж--

, т(т-1)(т- 2) j f 1.2-3 *

(Последняя ф-ла-обобщенная ф-ла бинома, где m-любое действительное число). Эти два ряда сходятся при ж < 1.

Частные производные, полный дифференциал. Пусть дана ф-ия w=f{x,y, z) трех независимых переменных ж, у, z. Частной производной от WHO ж называется производная, к-рая получится, если остальные аргументы рассматривать как постоянные. Ее обозначения: , или , или Wx, или . / = lim (- + Z) -/(X. у. г)



Аналогично определим и . Рассулсдение

применимо к любому числу независимых переменных, большему 1. Пример:

и = х

sin у

sin у - 1

ди sin у dy

In X COS у .

Беря частные производные от частных производных, получим частные производные 2-го порядка: fx, fxy и т. д. Имеет место теорема: результат дифференцирования по од-1шм и тем же аргументам не зависит от порядка последовательных дифференцирований. В частности, например, f (ж, ?/,...) = Ux (х> У,---)- Вторые производные можно записывать таклге в следующей форме:

Ixr дх У У дхду

Так же определятся третьи производные: а/ dt дх дхЮу дхду Полная производная. Пусть iv = =f{x, у, z), где X, у, Z-ф-ии независимого переменного t; w есть сложная функция от t. Производная от w по t назьшается полной производной; ее выражение:

dw dw dx , Sw dy , dw dz

dt dx dt

dt~ dz dt

Производная неявной функции. Утр-кеЕ(х,у)=0 определяет у как неявную ф у н к ц и ю от ж; для нахонсдения ~

берем полную производную частей уравнения:

по ж от обеих

от1!;уда

Полный дифференциал div функции w=f{x, у, z) определяется так:

дх + -%У+ dz здесь дифференциалы независимых переменных опять можно считать равными их приращениям; доказьшается, что dw отличается от полного приращения ДШ=/(ж+Аж, у-\-+ Ау, z + Az)-f{x, у, z)im бесконечно малую высшего порядка.

Ряд Тейлора для ф-ии двух переменных имеет вид:

fix, у) = /(а, Ъ) + - (а, Ь) + / (а, Ъ) + + i- [(ж-аШ (а,&) + 2(ж - а) (у- b)fj (а, Ъ) +

+ iV-b)4;yia, + . .. Максимум и минимум функции от двух независимых переменных. Чтобы найти максимум и минимум fix, у), поступаем след. обр.: приравниваем нулю частные производные 1-го порядка; получаем 2 ур-ия: /(ж, у)0, fyi, ?/) = 0; совместные решения этих ур-ий дают точки, в к-рых ф-ия может принимать наибольшее или наименьшее значение. Для дальнейшего исследования вычис.чяем значения вторых производных в точке (а, Ь): /-(а, Ь)=А; r,yia, Ь) = Б;

Uyia, Ь)=С; составляем выражение - АС; тогда име-

ем правило: если В - АС>, в точке (а,Ь) нет ни максимума ни минимума; если же В-< О, то имеем максимум при < О (и С < 0) и минимум при J. > О (и С>0). Если же В~АС, метод не дает ответа.

Пример, fix, у) = Зху - х - у. Приравниваем нулю первые производные: Зу - - Зж=О, Зж - Зу=О. Совместные решения ж=0, у=0; ж=1, у = 1. Вторые производные f/x= - 6ж, /;V=3, f:/y= - 6г/. Для точки (0,0) В - АС = 9 ( > 0) нет ни максимума ни минимума; для точки (1,1) В - АС= - 27 (< 0); J. = - 6 ( < 0),-имеем максимум.

Лит.: Грэнвиль В., Элементы дифференциального и интегрального исчислени!!, ч. 1-Диффереи-ниальное исчисленпе, М.-Л., 1928; Ф и л л и н с Г., Дифференциальное исчисление, пер. с англ., М.-Л., 1926; Гурса Э., Курс математич. анализа, т. 1, Москва, 1911. В. Степанов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, механизмы, в к-рых результирующее движение пропорционально разности (или сумме) составляющих движений. Наиболее часто применяются на практике дифференциальные механизмы: дифференциальная зубчатая передача (см. Дифференциал) и дифференциальный блок Вестона(см. Блоки).

Дифференциальный винт, изобретенный Прони, широко применяется в

Фиг. 1.

микрометрах, делительных машинах и физич. приборах (фиг. 1). Одним концом с шагом нарезки t винт ji ходит в станине С, другим-с шагом -в гайке В, двигающейся по направляющим D, D. Перемещения гайки относите.тьно станины определяются из формулы:

где 9?-угол поворота винта относительно станины. Делая разность it-ti) очень малой, можно получить весьма незначительное перемещение ползуна при значительных углах поворота винта А. При постоянном направлении вращения винта А направление движения ползуна зависит от знака разности (t- t). Если одну нарезку сделать правой, а другую левой, то перемещение ползуна будет равно:

При t=ti скорость ползуна вдвое больше скорости поступательного движения винта.

11а том же принципе основана дифференциальная гайка, применяемая, между прочим, для закрепления фрезеров в шпинделе фрезерного станка (фиг. 2). Обе нарезки делаются одного направления, и шаг t> t; отбрасывая влияние трения, получаем, что, при завинчивании гайки моментом Ж, сила, вжимающая конусный хвост фрезера в


Фиг. 2.

A�0. ..�-9B



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159