общем случае замечаем, что 9) = arctg из

формулы (5), ds\/dx- + dy- яз ф-лы (4), откуда дифференцированием находим:

dxdy - dxdy

Эта ф-ла принимает более простой вид, если кривая задана ур-ием (1); тогда ж=0, и мы имеем:

а + у )

Замечаем, что в точке перегиба 0) име-

ем iC= 0. Обратную кривизне величину называют радиусом кривизны:

idx+dy)

К dxdy - dxdy

Центр кривизны кривой в точке М есть точка С, которая получится, если отложить на нормали в направлении вогнутости кривой отрезок МС, равный радиусу кривизны. Круг с центром в С и с радиусом же называют сопри ка сающимся кругом; его можно определить и независимо от кривизны,-как предельное положение окружностхг, проходящей через точку Ж и две близкие к ней точки кривой, когда эти последние неограниченно приближаются к Ж. Координаты ($, г})центра кривизны даются ф-лами:

Фиг. 3.

dx

если кривая задана в виде (1), при чем В общем случае имеем:

dy dx

S=X -

dxdy - dxdy dxdy - dxdy

В полярных координатах радиус кривизны имеет выражение:

f г 4-2r - гг V d(p d<p)

Пример. Найти кривизну К параболы у=2рх. Дифференцируя, находим: уу =

= р; У + у - о, откуда У=, 2/ = - \j, Кривизна

Jf=- -

(У+ V-)

Для радиуса кривизны в вершине (?/ = 0) получаем: q= - р. Центр кривизны лежит в точке (р, 0).

Эволютой кривой называют геометрич. место ее центров кривизны. Рассматривая в ур-иях (6) точку кривой (х, у) как переменную (х--независимое переменное, у-его данная ф-ия), имеем выражения координат (1,7?) точки эволюты в функции X, играющего роль параметра. ,Это и есть параметрические уравнения эволюты. Геометрическое свойство эволюты состоит в том, что: нормаль к кривой в точке М{х,у) (радиус соприкасающегося круга) есть касательная к эволюте в соответствующей точке М{&,г]) (фиг. 3).

Первоначальная кривая по отношению к эволюте называется эвольвентой. Пример. Эволюта параболы жгр ;

имеем: 2/=- ; У =р Уравнения (6) принимают следующий вид:

Исключая X, находим:

Теория пространственных кривых. Кривая в пространстве м. б. задана двумя ур-иямп между X, у, Z как пересечение двух поверхностей: F{x, у, г;)=0, Ф{х, у, z)-. Более симметрично представлять пространственную кривую тремя уравнениями в параметрической форме:

x=<pit), y==4it), z=-/Xt). О)

Для квадрата дифференциала дуги пространственной кривой имеем выраладние:

ds dx-\-dy--i-dzK (8)

Касательная к пространственной кривой в точке (ж, у, z) определится как предельное положение секущей через точки кривой (ж, у, z) и (жЧ-Дж, у+у, z+Az), когда вторая точка неограниченно приближается к первой. Уравнения касательной имеют вид:

X-х -у z-z

Х ~ у 2

где X, Y, Z-текущие координаты, ж, у, z-значения производных по параметру t от ж, у, Z, определяемых формулами (7). Обозначая косинусы углов касательной с осями координат через а, fi, у, находим д.т1я них выражения:

о у

Vx + y + z

Ухл-у + г Если взять за параметр длину дуга, эти формулы примут вид:

dx ds

, dy dz

~ ds ~ ds

Плоскость, проходящая через точку кривой перпендикулярно к касательной, называется нормальной плоскостью. Ее уравнение:

a{X-x) + P(Y-y) + y{Z-z) = 0.

Всякая плоскость, проходящая через касательную прямую, называется касательной плоскостью к кривой. Из касательных плоскостей вьщеляют ту, которая имеет наиболее тесное соприкосновение с кривой; соприкасающаяся плоскость к кривой в точке Ж есть предельное положение плоскости, проходящей через точку Ж и две близкие точки Ж, Ж , когда эти последние неограниченно приближаются к Ж. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость есть та, в к-рой лежит кривая. Всякий перпендикуляр к касательной прямой в точке Ж называется нормалью к пространственной кривой; в частности, нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нор-

малью, а нормаль, перпендикулярная к этой плоскости, - бинормалью. Наконец, касательная плоскость, перпендикулярная к бинормали, называется спрям-.пяющей плоскостью. Кривизна пространственной кривой, как и плоской характеризует меру уклонения кривой от прямой линии и определяется как предел отношения угла меладу двумя бесконечно близкими касательными к длине соединяющей их дуги. Ее выражение:

Наряду с кривизной д.чя пространственных кривых вводится еще вторая кривизна, или кручение, характеризующая степень уклонения кривой от плоской линии. Берем на кривой точку М и близкую к ней М; пусть As-длина дуга ММ и At/.- угол между соприкасающимися плоскостями в обеих точках; тогда величина кручения в точке Ж:

Связь между производными от направляющих косинусов касательной (а,р,у), главной хюрмали (I, т,п) и бинормали (A,.a,v) и радиусами кривизны Q и кручения т устанавливается формулами Серре-Френе:

da l dl а J .

ds - е ds ~ Q -z ds ~ г И еще 6 формулами, аналогичными этим трем, для /5 и 7, m и W, и V.

Теория поверхностей. Уравнение поверхности в декартовых координатах дается в виде:

z-f{x,y), (9)

F(x,y,z)==0. (9)

Возможно также выразить все три координаты точки поверхности в функции двух параметров и, v:

X = (p(u,vy, у = 4iu,v); Z = /Xu,v). (10) Из уравнений (10) получается форма (9) в частном случае, когда ж = г*, y=v, z = f(u,v). Для вычисления дифференциала дуги любой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку M{x,y,z), ввыралее-ние ds= dx + dy + d;подставляем значения дифференциалов,вычисленные из формул (10), и собираем члены с du, dudv, dv\ получаем: ds = Edu -f 2Fdudv + Gdv, (11)

Де -Р*+(ЙГ+ШГ - -Вираже.

ние (11) дает квадрат дифференциала дуги любой кривой на поверхности и назьшается квадратом линейного элемента поверх и ости. В частности, для поверхности, заданной ур-ием (9), линейный элемент имеет вид:

ds2 = (1 -Ь р2)ж2 + Zpqdxdy + (1 + q)dy, где ~ = Р, Я- се касательные к кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку Ж поверхности, лел-сат в одной плоскости; эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке Ж. Уравнение касательной плоскости в случае поверхности, заданной уравнением (9), имеет вид:

Z -z=piX-x) + q{Y-y),

т. Э. т. VI.

где X, Y я Z-текущие координаты точки плоскости. Перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания называется н о р-мальюк поверхности. Всякая плоскость, проходящая через нормаль, называется нормальною плоскостью; пересечение нормальной плоскости с поверхностью дает кривую, называемую нормальным сечением поверхности. Исследуя кривизну различных линий иа поверхности, проходящих через точку Ж, мы убеждаемся, что она зависит только от кривизны нормального сечения, имеющего общую касательную с данной кривой, и от угла О между плоскостью нормального сечения и соприкасающейся плоскостью кривой в точке М; обозначая радиус кривизны кривой через а радиус кривизны соответствующего нормального сечения через R, имеем формулу: ()=i?cos0. Это соотношение и составляет содержание теоремы Менье. При исследовании кривизны нормальных сечений, проходящих через данную точку Ж, обнаруживается, что эта кривизна получает экстремальные значения (наибольшее и наименьшее) для двух сечений, лежанщх во взаимно перпендикулярных плоскостях,- главные сечения. Радиусы кривизны Ri и Rz главных сечений называются главными р а д и у с а м и к р и в и 3 и ы поверхности в точке Ж. Выражение + называется средней кривизной, a--J--гауссовой кривизной поверхности. Если Ri и i?g одного знака, то гауссова кривизна положительна в данной точке; радиусы кривизны главных сечений (а поэтому и всех нормальных сечений) направлены по нормали к поверхности в одну сторону; вся поверхность имеет выпухшость, направленную в одну сторону (поверхность лежит по одну сторону касательной плоскости). Если и i?2 разных знаков, то гауссова кривизна отрицательна; новерхность вблизи данной точки имеет седлообразную форму, т. е. лежит по обе стороны касательной плоскости и пересекается ею. Если хоть один из главных радиусов кривизны равен оо, то гауссова кривизна равна О. Точки поверхности, в к-рых гауссова кривизна положительна, отрицательна или равна нулю, называются соответственно эллиптическими, гиперболическими и параболическими. Примерами поверхностей положительной кривизны в каждой точке является эллипсоид; отрицательной-однополый гиперболоид, нулевой-плоскость. Шар радиуса R является поверхгюстью постоянной положительной кривизны; его гауссова кривизна равна . Поверхности постоянной нулевой кривизны называются развертывающимися поверхностями, т. к. могут быть разогнуты на плоскость; таковы все цилиндры и конусы. Поверхности постоянной кривизны замечательны тем, что на них реально осуществляются свойства неэвклидовой плоскости (см. Геометрия), если прямыми называть геодезические линии. Геодезическая линия на поверхности обладает тем свойством, что

она является кратчайшей из всех линий на поверхности, к-рые соединяют две достаточно близкие точки; например: на поверхности шара геодезическими линиями являются дуга больших кругов. Обыкновенно геодезич. линию на поверхности определяют ее геометрич. свойством: это-такая линия, главная нормаль к-рой в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности. Линии кривизны поверхности можно определить как такие линии, касательные к к-рым в каждой точке совпадают с касательной одного из главных сечений. Через каждую точку поверхности проходят две линии кривизны.

Лит.: Егоров Д. Ф., Дифференциальная геометрия, М.-П., 1923; Г у р с а Э., Курс математического анализа, т. 1, М., 1911; К о m m е г е 11 V. и. К., AUgemeine Tlieorie d. Raumkurven u. Fluchen, B. 1, 2, B.-Lpz., 1921. B. Степанов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,

отдел исчисления бесконечно мал ы X, изучающий свойства производных и дифференциалов от функций.

Производные функции. Пусть задана однозначная инепрерьшная ф-ияг/=/(ж), и независимое переменное х получило определенное численное значение. Затем даем х (положительное или отрицательное) приращение Аж; новое значение независимого переменного будет х+Ах, соответственное значение ф-ии будет f(x+Ax). Вычисляем приращение ф-ии Ay=f(x+Ax)-f{x). Из свойства непрерывности /(ж) следует, что при безграничном уменьшении абсолютной величины Ах становится бесконечно малым также и Ау;

но отношение - может иметь определенный

предел (и действительно имеет его для элементарных ф-ий). Этот предел называется производной по ж от у, или от fix),

и обозначается fix), или у\ или (последнее произносится: dy по dx), или :

S 1 f(x + x) - fix) fix) hm ---

Давая ж разные значения, получим, вообще говоря, разные значения для производной; производная есть также ф-ия от ж.

Геометрический смысл производной. Уравнение у - fx) изображает кривую на плоскости; при данном ж получаем точку М кривой; значению ж + Дж независимого переменного соответствует точка М (фиг. 1). Из рассмотрения треугольника ММР заключаем, что есть

tg угла а секущей фдр I ММс осью ОХ. При

стремлении Дж к О точка М неограниченно приближается к М, секущая стремится к предельному пололе-

нию-касательной = tg 9?, где (р-угол касательной с осью ОХ. Если производная положительна > Oj, угол 97-острый, ордината кривой увеличивается при увеличении ж, ф-ия возрастает; если < О, угол <р- тупой, ф-ия убывает (при возрастании ж).

Простейшие свойства производной. 1) Производная от постоянной

равна нулю: -=0 ic-постоянное). 2) Производная от независимого переменного равна единице: ---=1- 3) Пусть и и v-ф-ии от ж; тогда iu + vy=u+v; производная суммы равна сумме производных. 4) Производная произведения: iu-v)=uv+uv; если один из множителей постоянный, получается более простая ф-ла: icu)=cu, т. е. постоянный множитель можно вынести за знак

производной. 5) Производная частного: =

= -г 6) Производная обратной ф-ии.-

Пусть y=fx); X-независимое переменное, у-ф-ия; если это ур-ие разрешить относительно ж, получим: x=q}iy); у-независимое переменное, ж-функция. Функции fx) и qriy) называются обратными одна относительно другой; между их производным и существует соотношение:

dx 1 . 1

dy= dy Р(У)=Пх)

7) Производная сложной функции. Пусть y=fu), u=q>ix), X-независимое переменное; тогда у = f[q)ix)] есть сложная функция от ж. Для производной от у по ж имеем выражение:

Производные от элементарных

ф у и к ц и й: = аж (а-любое постоянное число, целое или дробное, положительное или отрицательное); Ig ,ж =?=; в

частности, In ж = ; а = In а; ее/

dx х dx dx

(е-основание натуральных логарифмов, равное 2,71828...; а-любое нололшт. число);

sin ж = cos ж; cos ж = - sin ж; tg ж =

= ; -ctgж= - - ; arcsinж = ;

cosa; dx sin-x dx у

У 1 - .г

- arc cos ж

drc<tg=-l + x

ar ctg ж =

dx 1 f

Ha основании правил двух последних отделов можем находить производные, т. е. дифференцировать любую ф-ию, выраженную при помощи алгебраических действий и символов элементарных функций.

Примеры. 1) у = Vl -х. Здесь имеем сложную функцию: у=и;и = 1-х. По правилу дифференцирования сложной функции ~g = (w)-(l-T=>-- (-2.3?)= ,т~ .

2) у = sin ж; здесь у = и, и= sin х; =

= 2и cos ж = 2 sin ж cos ж = sin 2ж.

Производные высших порядков. Мы видели, что производная /(ж) от дайной функции у = fx) есть также ф-ия от ж. Можно найти производную от fix); она называется второй производной от /(ж); ее

обозначения:/ (ж), или (читается: d два

от у по dx в квадрате). Дифференцируя