Литература -->  Катафорез - движение частиц 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [ 91 ] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152

Как и выше, в зависимости от м. б. выделено любое число К. д. с периодом Т/2.

Обобщая сделанные вьшоды, можно прийти к заключению, что данная периодич. сила в может в упругом теле вызвать любое

число к. д. с периодами - , где п = 1,2, 3,..., причем уравнения кривых К. д. имеют вид: Р = 4 sin п(а + у) -\-Ап cos п (а +

= Р sin п(а-{-К). (66)

При аналитич. исследовании вопросов, связанных со сложными периодич. К. д., особенно крупное значение имеет разложение данной периодич. функции в ряд Фурье, основывающееся на том, что всякая периодич. ф-ия f{t), не имеющая в интервале 2л бесконечно много максимумов и минимумов и принимающая бесконечно большие значеНИЯ, сохраняя конечной площадь J/(f) ,

м. б. представлена рядом:

со ,

71=1

+ DnCosn{<ot 4-у).

Об аналитич., графич. и механич. способах разложения /(t) см. Фурье теорема и Гармонический анализ.

Нетрудно видеть, что сила, изменяющаяся по закону какой-либо периодич. кривой периода Т, не может вызвать колебаний с периодами 2Т, 4Т, 6Т и т. д. В самом деле: возьмем для простоты синусоидальную периодическую силу в, имеющую период Т = ас (фиг. 13). Очевидно, сила в может вызвать колебание того же периода Т, причем К. д. поглотит импульс, равный разности площадей S - S. Взяв для К. д. период ас> ас и разделив его в точке Ъ пополам, получим, проведя соответствующие ординаты ВЪ и Сс , площади S{ и Sa, причем S- S < Sl- S-Легко заметить, что, чем больше период К. д. приближается к величине ае~2Т, тем меньше будет становиться соответствующая разность площадей, т. е. поглощаемый

i i i

[о s[b cf с

1 чУ \J

ч-----5Т--

Фиг. 13.

периоде, равном ае= = 2Т, этот импульс превращается в цуль, т. е. К. д. периода 2Т возникнуть не может, точно так же, как и периодов 4Т, 6Т и т. д. Наоборот, при периоде, равнол! ЗТ, 5Т и т. д., разность площадей S-Sz, вместе с тем и поглощаемый К. д. импульс, достигают своего максимума. На основании этих соображений периодическ. сила e(f) периода Г может быть разложена в следующий ряд Фурье:

9(<)=2(~-3 -sn- 6 sn----) sin n((ot -f у) + n=l

+ 3 - Usn - ) COS n(o>t -b y) ,

n=l

где An, Asn,--, a; J. ,...cyTb амплитуды тех К. д. порядков п, Зп, Ъп,..., к-рые м. б. вызваны в упругом теле силой 0(i).

В е к т о р н о-к омплексный способ представления К. д. Кроме аналитич. и графическ. способов представления К. д. существует еще векторно-комплекс-н ы й способ представления их, заключающийся в основном в следующем. Допустим, что в плоскости, проходящей через два взаимно перпендикулярных компланарных вектора Fn Fa (фиг. 14а) имеется еще вектор Л, проекции которого по направлениям Fj и Fa суть и ttg. Пусть ось 1, совпадающая с направлением F, есть графич. представление всех действительных чисел, а ось



Фиг. 14а.

фиг. 146.

2, совпадающая с направлением Fg, есть графич. представление всех возмолсных мнимых чисел. Т. о. вектор .4 м. б. представлен комплексным числом а=а1 + аф. Обозначая числен, значение вектора А через г (модуль вектора А), а угол между А и осью 1 через 9, имеем: атсовср, 2=sin у, так что а = г (cos + г sin 9 ), (67),

что на основании формул Эйлера (6) молсет быть представлено также в виде

а = ге. (68)

Нетрудно видеть, что еспи имеется кроме А еще другой вектор В, комплексное выражение к-рого есть Ь= + i&2j то комплексное выражение вектора суммы А+В будет равно алгебраич. сумме комплексных выражений слагаемых векторов, т.е. равно а -Ь Ь = = (а-Ь bj) -Ьг (tta-b Ь. Если Ъ представить в виде Ъ = ee**. то алгебраическ. произведение аЬ представит новый вектор аЪ=где\ модуль к-рого равен rq, а угол, образованный им с осью 1, равен (р+. Если в частности у=0> то вектор а при умножении лишь удлиняется в q раз, сохраняя свое направление, если же е = 2,то вектор поворачивается лишь на уго.ч у, сохраняя свою величину. В более общем случае имеем:

gim?> r (cos т<р + г sin ш??). (69)

Рассмотренный способ изображения векторов удобен при исследовании периодическ. колебаний, разлагаемых в ряд Фурье. Основное колебание = sin (со i-f-j) м. б. представлено след. образ.: отрезок ОР = а, (фиг. 146) вращается с постоянною угловою скоростью со вокруг О, так что в момент t угол между ОР и осью i равен си f-fdj, если в момент f=0 вращающийся отрезок отстоял от оси 1 на угол . Проекция же ОР на ось -2 равна sin (со i+(5i). Так. обр. колебание может рассматриваться как изменение мни-



мой части вектора, представленного комплексным числом ае. Другое, синхронное с первым, колебание

может быть также представлено как изменение мнимой части комплексного числа г(а)( + п) представляющего нек-рый другой вектор. Сумма рассматриваемых двух колебаний

Oj sin (со t + j) 4- 1 sin (to t -f У1) может т. о. рассматриваться как новое результирующее колебание, представленное изменением мнимой части комплексн. числа

1(ш( + у,)

1{ш1 + Ъ)

Если ОР есть вектор, представленный первым комплексным числом, а PJV-вектор, представленный вторым, то ON=PN+OP

есть вектор, представленный ае *так что весь процесс слолеения двух данных колебаний м. б. рассматриваем как измене-HPie проекции вращающегося с постоянною угловою скоростью О) около О треугольника OPN на ось мнимых количеств. Если составляющие колебания синхронны, то множитель е * м. б. опущен, и тогда тр-к OPN неподвижен в пространстве. Чтобы получить мгновенные значения как слагаемых, так и результирующего колебаний, нужно проектировать неподвижный тр-к OPN на прямую, вращающуюся около О с постоянною угловою скоростью -о), т. е. в обратном по отношению к первому направлению. Т. обр. получается т. наз. диаграмма колебаний. Диаграммы колебаний более сложных видов применяются особенно часто в электротехнике (см. Генератор переменного шока. Индукционные машины).

Как легко усмотреть, все дифер. уравнения разобранных выше случаев К. д. представляют собою частные случаи следующего линейного дифер. ур-ия 2-го порядка:

Mx,t) -Ь Ai(x,t) -{-A2ix,t)x +

+Аз(х,1) = 0, (70)

где коэфициенты А, А, А и А-ф-ии от х и t. Во всех рассмотренных выше случаях эти коэф-ты были величинами постоянными. При ААзО получается вид дифер. ур-ия <4), при Аз=0 получается вид дифер. ур-ия (31) и т. д. При более сложных случаях К. д. получаются однако дифер. ур-ия более общего вида (70). Аналитич. методы интегрирования дифер. ур-ий вида (70) довольно сложны и потому для практич. надобностей весьма мало пригодны. Гораздо более быстрые результаты с достаточной для практики степенью точности дают графические методы интегрирования дифер. ур-ий, приводимых к рассматриваемому виду или даже к еще более общему виду:

лишь бы последние бьши разрешимы отно-, т. е. представляемы в виде:

сительно

\dt

X, t).

(71)

Из графич. методов интегрирования дифер. ур-ий рассматриваемых видов укажем в общих чертах на следующий метод. Пусть имеются следующие начальные условия дви-лсения точки: при t=fi, хх и v = Vi, т. е.

cci. По отношению к двум взаимно перпендикулярным осям X к t (фиг. 15) эти начальные условия движения определяют некоторую точку Al и нек-рое направление dj. Из ур-ия (71) имеем:

XI =fix{,Xi, tj) ,

а из известного соотношения

где Q - радиус кривизны кривой х = x{t), имеем радиус кривизны искомой кривой в точке J-i, а именно:

-/(1+ Qi--

Зная Qi и направление dj, найдем соответствующий центр кривизны Oj, т. к. ОА = перпендикулярен к d. Проведя из 0 радиусом Qi соприкасающуюся окружность и взяв на этой же окружности достаточно малую дугу А1А2, получим точку А2, которая приблизительно будет находиться на искомой кривой и которой будут соответствовать новые значения 2 и 2 и новое направление х. Поступая по отношению к точке А2 точно так же, как и по отношению к А, получим новую точку и т. д. т. о. моншо искомую кривую X = x(t) определить с любой степенью точности как состоящую из отдельных малых дуг, принадлежащих различным соприкасающимся окружностям.

К.д. в различных областях тех НИКИ. К. д., обнимающие почти все области техники, м. б. подразделены на К. д. с одной степенью свободы и К. д. со многими степенями Свободы (см. Механика теоретическая). KnepBoit категории относятся напр. колебания фундаментов под влиянием К. д. машин, колебания быстро вращающихся валов, колебания кручения быстро и медленно вращающихся ва.тов, движения автоматич. клапанов в поршневых насосах и т. д. К К. д. с несколькими степенями свободы относятся напр. колебания двойных маятников, центробежных регуляторов, маятниковых тахометров, инерционных регуляторов, турбинных регуляторных систем, рулевых механизмов судов и т. п. Исследования К. д. имеют особенно существенное значение при движении судов, паровозов, аэропланов, при явлениях движения волчков, при исследовании жироскопич. сил и т. д. В теории упругости особенно валеное значение имеет исследование колебаний струн, эластичных пластин (мембран), продольных и поперечных колебаний стержней. В строительном деле исследуются вопросы, связанные с колебаниями мостов, фундаментов, башен, маяков


Фиг. 15.



и т. п. В областях, связанных с исследованием деталей машин, рассматриваются колебания различных пружин и рессор. Большую роль играет исследование К. д. в гидравлике, в особенности при установлении законов движения волн и образования вихрей, движения лсидкости в трубопроводах и в сообшающихся сосудах и в частности в гидравлич. машинах и т. п. Крупное при-1Сладное значение имеет исследование колебаний пара в соплах паровых турбин. Аналогичные проблемы возникают при исследовании законов движения газов и паров в трубопроводах. Фундаментальное значенпе имеют К. д.в акустике, базирующейся целиком на установлении законов К.д,воздушной среды. С этими лее проблемами связаны и вопросы строительной акустики, теории музыки, конструирования музыка.чьных и акустических инструментов и т. и. Громадная область прикладной и теоретич. электротехники , теория электромагнитных колебаний, теории квант и новейших статистич. и волновой механики целиком базируются на исследовании вопросов, связанных с видом К. д., и наконец в таких областях, как физиология, биология и метеорология, исследования К. д. имеют крупное значение.

Методы и приборы для непосредственных измерений механических К. д. могут быть подразделены различным образом в зависимости от точки зрения. Так напр. с точки зрения областей применения их можно подразделить на следующие группы: 1) сейсмометрические в широком смысле слова-измеряющие либо колебания эластичных, но неподвижных в целом систем, либо колебания систем, находящихся в движении (землетрясения, колебания почвы, колебания фундаментов машин, колебания судов, мостов, ферм, К. д. поездов, аэропланов и т. п.);

2) измеряющие переменные механич. воздействия (напряжения в частях мостов, судов, аэропланов, кручение валов и т. п.);

3) индикаторные (индикаторы паровых машин и двигателей внутрен. сгорания, измерения колебательных давлений жидкостей и газов и т. п.); 4) приборы общего машиностроения (техника синхронизирования, равномерность хода ременных и зубчатых передач и т. п.); 5) акустические-связанные с измерением звуковых колебаний; 6) физиологические и биологические-измеряющие колебания в живых организмах. По роду регистрации К. д. их можно подразделить на механически, оптически и электрически регистрирующие. К сейсмометрическим приборам, в широком смысле слова, принадлежат в первую очередь приборы, измеряющие колебания почвы: сейсмографы и клинографы (см. Сейсмология).

Для измерения колебаний судов применяется паллограф О. Шлика, конструкция которого в основе состоит из следующих частей: 1) приспособления, регистрирующего вертикальные колебания, 2) приспособления, регистрирующего горизонтальные колебания, 3) часового механизма, приводящего в движение цилиндр с полоской бумаги и отмечающего на ней промежутки времени, и 4) регистрирующей части. Схема упомянутого паллографа О. Шлика предста-

влена на фиг. 16. Горизонтальные колебания судна вызывают колебания горизонтального маятника М, а вертикальные?-колебания вертикального маятника (см. Маятник). Относительные смещения грузов маятников передаются при помощи системы рычажков пишущим штифтам А п В, наносящим соответствующие кривые на полоску бумаги, приводящейся в движение цилиндром 1С при помощи часового механизма С. Третий штифт D, находящийся под воздействием часового механизма Cj, отмечает на полоске бумаги интервалы времени. Так как маятники наряду с вынулсденными колебаниями имеют еще и собственные периоды колебаний, могущие исказить истинный характер регистрированных колебаний, то особенно важно придать прибору такую конструкцию, при которой достигались бы по


Фиг. 16.

возможности значительные периоды собственных колебаний, и иметь кроме того возможность регулировать эти колебания. У вертикального маятника первая цель достигается след. образом. Маятник, врашающий-ся около оси S, опирается в точке Е на конец вертикальной пружины F, причем точка Е лежит ниже обычного горизонтального положения оси стержня маятника. В зависимости от расстояния точки Е от оси стержня м. б. получен больший или меньший период собственных колебаний. В паллографе точка опоры Е м. б. смещена в желаемом направлении. Вертикальный маятник паллографа снабжен двумя пружинами F и F, соединенными рычагом R с целью уменьшения вертикальных размеров прибора и возможности случайных смешений оси пру-Лгины. Обычная частота колебаний вертикального маятника прибора Шлика равна 20 в минуту; при этом прибор в состоянии правильно регистрировать колебания с частотой до 40 в мин. Горизонтальный маятник состоит из тяжелого металлическ. цилиндра (фиг. 17), подвешенного горизонтальной своей осью ZZ к двум стержням h и h. могущим перемещаться во втулках b и b. С другой стороны, эти стержни могут вращаться на цапфах, укрепленных на стержнях а, а. Втулки Ь, b соединены между собой горизонтальным стержнем, могущим вращаться вокруг оси d. Последняя при помощи конич. зубчаток к, к может приподниматься или опускаться. Период собственных колебаний Т горизонтального маятника зависит от величины И = р + q - r, где р-рас-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [ 91 ] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152