Литература -->  Катафорез - движение частиц 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152

д е к р е-

ваемую логарифмическим

ментом затухания и равную

Наблюдая за амплитудами колебания, можно легко определить логарифмическ. декремент затухания, а затем и коэф-ты пи а, определяющие величину торможения среды. Откладывая по оси абсцисс время t, а по оси ординат соответствующие значения х, получаем графич. изобрал-сение (35), представлен-яое на фиг. 10. В технике К. д. с линейным затуханием рассмотренного типа встречается довольно часто. Примером величины, затухающей по приведенному выше закону, может служить напряжение разряжаемого конденсатора, включенного последовательно в цепь вместе с омическим и индуктивным сопротивлениями. Если С - CiMKocTb конденсатора, R - омич. сопротив.11ение, L-коэф. самоиндукции, то напряжение s у клемм конденсатора ©пределяется в ф-ии времени из дрхфер.ур-ия:

dt L dt LC

Т. е. из дифер. ур-ия, имеющего вид (32). Сравнивая (38) и (32), получаем:


фиг. 10.

Г. + Т WV+77: = О

(38)

2п = ;

-LC

Т. к. выше условием для получения К. д. служило наличие неравенства h>n, то условием д.тя получения колебательного разряда с переменным напряжением е служит неравенство;

2L ♦ С

/LC

>

Если же последнее условие не соблюдено, то разряд анериодический. Все вышеприведенные выводы применимы конечно и к рассматриваемому случаю; так, в частности пе-рио.т колебания разряда равен:

Vh-n*

у LC 4.L

Более сложным случаем затухающего К. д. является тот, когда сила сопротивления среды пропорциональна квадрату скорости. Тогда вместо дифер. уравнения (31) имеем:

g + 2тп (~У + Г-тх = 0. (39)

Рассматривая как нек-рую неизвестпую

переменную, имеем, интегрируя (39):

-/ (г-4п . + Се- ). (40)

Есчи начальные условия движения таковы,

что, при f = О, = О, а ж = - о, то

С = -е-* (1+4мао), так что вместо ур-ия (40) имеем:

d.ii dt

h}.[1-4пж-е-* < * >(Ц-4иао)]. (40)

Следующую за -амп.питуду о. получим из (10), приравняв левую часть ур-ия нулю и

заменив ж через а. Таким образом получает-ся трансцендентное уравнение

Vw [l-4 a,-e-* >(l-f4пао)] , (41)

к-рое м. б. решено относительно лишь методом постепенного подбора значений а. Если же разложить правую часть (41) в ряд и отбросить члены, содержащие о или в степени выше третьей, то получается следующая приближенная формула:

или в общем виде:

a, = a, i(l-f а, г). (41)

Из (41) видно, что уменьшение амплитуды составляет тем меньшую долю предшествующей амплитуды, чем меньше величина последней. Полный период колебания равен

[1-4пж-е-* <*П1+4пао)]

Вынужденные К. д. Если на материальную точку помимо вышеприведенных сил действует еще сила 0, линия действия к-рой совпадает с линией действия прежних сил и величина к-рой есть нек-рая периодич. функция времени t, то упомянутые выше результирующие движения точки будут этой силой периодически изменяться, вследствие чего сила в носит название возмущающей силы. Чаще всего величина силы В берется в виде следующей функции от t: q sin tjf. В зависимости от того, какие из прежних сил F, Q, Т VL Ф приложены одновременно к материальной точке помимо 0, могут представиться различные случаи, из которых рассмотрим лишь два следующих.

а) Вынужденное К. д. при наличии одной лишь силы притяжения , пропорциональной расстоянию. Если на точку действует кроме Q лишь одна силаР =-Яж, то дифер. уравнение движения имеет следующий вид:

m 5-ЬЯ2ж = Ksinjjf, (42)

или, если обозначить через I:

-Ь ?с-ж = 1 sin(43)

Для того чтобы проинтегрировать (43), можно поступить след. обр.: взяв производные два раза по t от обеих частей (43), т. е.

% + h%=-WBinnt, (44)

и умножив обе части (43) на tj, сложим полученный результат с равенством (44). Тогда получим:

(45)

dt dt Характеристич. ур-ие для дифер. ур-ия (45), т. е. ур-ие

имеет корни q = ± щ п q = ±ы. т. о. общий интегра.л дифер. ур-ия (43) будет

ж= Се+Ч Се-Ч Се++ Се,



что может быть при помощи приведенных формул Эйлера (6) представлено еще и в следующем виде:

X = Ai sin (Tit + Yi) -Ь Az sin (kt -f y). (46) Это и есть у[:>-ие движения точки в ее результирующем движении. Как видно из (46), результирующее движение состоит из двух составляющих гармонических К. д., а именно: К. д. $i=Asin(r]t+yi), вызьшаемого наличием возмущающей силы в и называемого выну ж д е н н ы м колебаниегл, и собственного К. д. точки 2=2 sin (Л: i + Уз) вызываемого наличием силы F. Период первого колебания Tj, совпадающий с периодом силы в. равен , а период второго ксчебания

. Из четырех постоянных ур-ия (46),

Al, У1, А . лишь последние два определяются начальными условиями движения, первые :ке два определяются из предыдущих данных след. обр.: из (46) имеем:

==-A,yfHin(vt\+yx)-A. kmn(kt+y2): (47) подставив (47) и (46) в (43), получаем:

Al (к - г]) sin (rjt + yj) = г si,n Tjt. Так как пос.теднее ур-ие должно удовлетворяться при всех значениях t и при постоянных J.i и У1,то это требование возможно лишь при У1 = 0 и i(/c2-7?2)= I, т. е. при yiO и

Al = ту*-i. Ур-ия результирующего движения (46) и вынужденного движения принимают при этом следующий вид:

X = .4., sin (kt + Уа) + , . sin r]t, (48)

b=feisin 7t. (49)

Есчи период Т. возмущающей силы в совпадает с периодом Tl собственных колебаний, т. е. если /с=??, то, как видно из (48), х принимает бесконечно больгпое значение. В этом сл\ае говорят, что имеется явление р е-3 он а н с а. Если tj становится больше к, то li имеет знак, противоположный знаку 2, т. е., другими словами, у свободного и вынужденного колебаний имеется сдвиг фаз, равный по.довине полного периода.

б) Вынужденные К. д. при наличии сопротивления среды. Если на материальную точку, кроме сил F и в, действует еще сила сопротивления среды, пропорциональная 1-й степени скорости, т.е. сила (р = -av, то дифер. уравнение движения принимает вид:

т + а у- -\- Х х = К sin i]t,

d-x dt

)in - + kx =1 ninrjt

(50)

(51)

T. k. дифер. ур-ие (51) отличается от (32) тем, что в право!! части (51) вместо О стоит выражение lsinr]t, то, найдя частный интеграл (51) и прибавив его к общему интегралу (32), найдем общий интеграл (51). Для этого, нололсив

X = р sin rjt-j-г COS r]t, (52)

найдем такие значения для р и г, к-рые, будучи подставлены в (52), дали бы ж, удовле-

творяющий (51). Для последней це.ти имеем из (52):

= PV cos Tjt - rt] sin r]t i

dx (

= -pyf sin r]t - rif COS rit I

что гюсле подстановки в (51) дает:

sin rit (-рп-2nrri-\-k-p-l)-\-+ cos nt (-ГТ] -f 2np7] + кГ) = О ,

(53)

откуда

РП + 2пгг}-кр + г = о, rrf - 2прг] - к-г = О,

2ПТ11

4nV (ft - *?) I

(54)

Общий интеграл принимает при этих значениях риг следующий вид:

X = е-* (Ci sin pt + Сз cos pt) -\-

+ (p sin Tjt -f- r cos Tjt) ,

0- = е-* A sin (pt + У2) + Al sin (r]t + y), (55) причем на основании (И) и (И)

А, = VCl-\- CI; Al = Vp -Ь г

(56)

Из (55) видно, что результирующее движение состоит из одного затухающего колебания с убывающею амплитудою e~ *-.i42 и вынужденного колебания с амплитудою Ai. Подставляя в (55) значения р и г из (54) и произведя необходимые преобразования, получаем следующее значение д.чя последней амплитуды:

Отсюда, видно, что, по мере приближения значений щ к значению к, Ai все возрастает и при резонансе, т. е. при ч = достигает своего максимума, равного ~ . Чем меньше при

этом W, т. е. чем меньше сопротивление среды, тем больше амплитуда JL,. При w=0 мы получаем такой резонанс, как в предшествующем случае при отсутствии силы Ф. Примером для рассмотренного случая колебаний может служить изменение силы тока, протекающего в электрич. цепи, в к-рую последовательно включены: конденсатор емкостью С, индуктивн. сопротивление с коэфициен-том самоиндукции L, омич. сопротивление R и источник тока с синусоидальным изменением напряжения е=Е sin соf. Дифер. ур-ие изменения силы тока г имеет при этом следующий вид:

Li + R%C-Esin,

dH , R di , 1 . £ .

т. е. получаем дифер. ур-ие, аналогичное (51), так что все полученные выше выводы будут применимы к закону изменения г, если положить

2ti = -f

- CL

В более общем случае возмущающая сила 0 может быть нек-рой произвольной периодич.



ф-ией времени t, так что дифер. ур-ие (45) принимает вид:

Е(х)=в(1), (57)

где Е{х) представляет собой левую часть ур-ия (42), а 6(f) данную функцию в. Если 0(0 есть сумма периодич. функций времени ®2(0> пСО то, найдя частные интегралы II, Ja, I,t ИЗ дифер. ур-ий Е(х) = e,(ty, Е(х)=в,(1У,...; ад=0 (О. получим общий интеграл уравнения (57) в виде 1 = =Ii+ I2 + + 1 , что и определяет сложное К. д., вызванное одновременным действием эластичной силы F и данной периодхгч. силы в. Если в частности кансдая из составляющих периодическ. сил в имеет вид, аналогичный правой части (42), т. е.

e=.Ksinr]t ... (v= 1,2, ... , n), (58) то соответствующий интеграл 1 имеет вид, аналогичный (46), т. е.

а;- sin (rjj -f у) -f л; (kj + у;), что показывает, что каждая из составляющих сил 0у будет вызывать нек-рое вынужденное колебание А sin (rjt + у).

Исследование К. д. упругих тел (в частности частей машин или тел, соединенных с последними), находящихся под воздействием


Фиг. 1 1 .

периодич. сил, имеет во многих областях техники громадное значение (вибрации поршневых двигателей, колебания мостов, колебания фундаментов машин и т. п.). Допустим, что кривая АБС (фиг. 11) есть периодич. кривая, выражающая функхщональную зависимость в от t, причем Т= ав есть период полного изменения силы 0. Пусть, далее, сила 0 действует на упругое тело (или на часть нек-рого упругого тела), имеющее период собственных колебаний, равный также Т. Площадь S, ограниченная частью АБС кривой, ординатами Аа и Сс и осью абсцисс, представляет собою полный импульс силы 0 в промежутке от t~to до t-tQ+T, т.е.

J e(t)dt.

Рассматриваемое упругое тело моиеет под действием силы 0 совершать гармоническое К. д., представленное синусоидой 1, с периодом = Т, поглотить при этом импульс силы, равный разности площадей Sj-Sg, где Sj-площадь, ограниченная частью АВщт-вой, ординатой Аа, ординатой ВЬ, проходя-

щей через середину Ъ отрезка ос, и осью абсцисс, а §2-аналогичная площадь ВСсЬ. Уравнение кривой 1 молеет быть представлено в виде:

A = Ai (sin r]t+ У1) = Al sin (a -f Vi) =

= sin[f (f-fo)] . (59)

Сдвинув ординаты Аа я Bb на. четверть периода, найдем аналогичным способом новую кривую I возможного гармонического К. д. тела с тем же периодом Т, но имеющего ур-ие

А = А{ sin (jilt -Ь J+ г1) = 1 cos (а -f У1)

= .lisinP(<-b-fo)]. (60)

Результирующее лее К. д. будет иметь ур-ие Р = sin Са -Ь уО + Al cos (а + у), (61) что может быть приведено к виду:

P = P,sin(a-byO. (62)

Так. обр. из данной периодич. кривой 0 м. б. выделено в зависимости от Уг или какое угодно число гармонич. кривых (гармоник) периода Т, выражающих возмоленые Ko.7ie6a-ния упругого тела. При нек-ром определенном значении у амплитуды Ai и А достигнут максимальных размеров, что будет иметь место при равенстве ординат, проходящих через io и fo + /2 . Максимальная величина Pi определяется равенством:

Р\ +А .

тах тах * max

Вычитая далее из ординат данной кривой 0 соответствующие ординаты гармонич. кривой i, получим новую периодич. кривую в, выражающую остаточную периодическ. силу, к-рая может в свою очередь вызвать К. д. 2, опреде.тяемое так лее, как и выше.

Данная периодич. сила 0 может вызвать также гармонич. колебания с периодом Т/2. Для выделения соответствующей кривой 2 (фиг. 12) разделим асТ на четыре равные части и, проведя через точки деления ординаты, разделим площадь S на четыре части Si, S2, S3, S. К. д. 2 поглощает импульс


Фиг. 12.

силы, равный разности площадей (Sj 4- tS3) - - (S2 + Si),a уравнение кривой2 будет ил[еть вид, аналогичгплй (59), а именно:

А = А. sin 2 (а -Ь У2)= sin

(t-to)

(63)

Передвинув затем ординаты на четв*рть пе-рргода, получим еще одно возможное К. д. с периодом Т/2, уравнение которого будет: А =ACOs2(a + y2) . (64)

Ур-ие лее результирующей кривой с периодом Т/2 будет:

Р = 2 in 2(а -Ь у,) -f А2 cos 2(а -h У2) =

= P2sin2 (о-ЬуО . (65)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152