Полярные К. Система полярных К. состоит из точки О (полюс) и полупрямой ОХ (полярная ось). Положение точки М (фиг. 3) определяется двумя величинами: расстоянием ОМ = г (радиус-вектор) и 2СМ0Х=<р (полярный угол, азимут).

Фиг. 2.

Фиг. 3.

Обыкновенно для 9? берут значение между О и 271. Связь полярных К. с декартовыми. Возьмем О за начало, полярную ось за положительную ось абсцисс и проведем ось О У перпендикулярно к ОХ. Декартовы К. точки М(х, у) выразятся через полярные:

X = г cos 9?, у г sin (р.

Обратно:

г = Уху, tg 9? = I.

Общее определение К. на плоскости. Имеем 2 семейства кривых, так что через каждую точку нек-рой части плоскости проходит по одной кривой семейства. Пусть каждой кривой 1-го семейства соответствует значение переменного и, кривым 2-го семейства-значения переменного v. Те значения переменных и, v, которые соответствуют линии калсдого семейства, проходящей через М, будут К. точки М (к р и в о л и-нейные К.). В случае декартовых К. оба

Фиг. 4.

Фиг. 5.

семейства являются семействами прямых, параллельных осям К.; в случае полярных- круги с центром.в О и лучи, выходящие из точки О. При биполярных К. положение точки М (па верхней полуплоскости, фиг. 4) определяется ее расстоянием от 2 точек (полюсов) Ох и Оа, ОхМ=Гх, 02М=Г2. 2 семейства кривых образованы концентрич. кругами с центрами в Oi и 0. При эллиптических К. 2 семейства суть софокус-ные эллипсы и гиперболы с фокусами в точках Fx и 2 (фиг. 5); их ур-ие:

Если вместо х, у взять декартовы К. точки Ж (лежащей в положительн. угле X0Y), получим для О два значения: Я, которое > а, дает эллипс; /л, удовлетворяющее неравенствам < fx< а, дает гиперболу; Я, [л-эллиптические К. точки М. Связь их с декартовыми К.:

К. на поверхности (так наз. Гауссовы К.). К. служат параметры и и -у, при помощи к-рых выражаются декартовы К. точек поверхности.-См. Дифференциальная геометрия, формула (10).

К. в пространстве. Система декартовых К. получается из трехгранного угла с вершиной в точке О (начало К.). 3 ребра дают 3 оси ОХ, О Г, 0Z; плоскости XOY, YOZ, ZOX назьшаются координатными плоскостями. П.ЧОСКОСТИ, проведенные через точку М параллельно координатным, отсекут на осях отрезки: ОР - х, OQ=y, OR=z; X, у, г-К. точки М. Обыкновенно применяется сист. прямоугольных К., в которых координатные плоскости взаимно перпендикулярны.

Преобразование координат. 1-й случай (перенесение начала): новые оси параллельны старым; даны К. нового начала в старой системе (а,Ъ,с). Старые К. выразятся через новые формулами: х=х+а,у=у+Ъ, zz + c. 2-й случай (поворот осей): начало остается прежним, а новые оси образуют со старыми углы, даваемые таблицей (обе системы прямоугольные):

\ X \ у \ Z

Фиг. 6.

Связь между старыми и новыми К.: ж = жcos а -f-2/cosj8 -f 2cosy у = х cos а 4- у cos -- z cos у z = x COS а +у cos jS -I- z COS y ; 9 углов таблицы (3) не независимы; между ними существует 6 соотношений: cos а + cos а -Ь cos а = 1

cos а cos 4- cos а cos + cos а cos /8 = О

Поэтому положение новой системы молшо охарактеризовать тремя независимыми величинами (эйлеровы углы). Эти углы (фиг. 6): 1) угол (р, образованный прямою пересечения 0L (двух плоскостей XOY и XOY) с прямою ОХ, 2) угол -наклонения этих плоскостей, равный 2(.Z0Z; 3) угол V между 0L и 0Х\ Ф-лы преобразования: i[х = ж(со8 9? cos V - sin (р sin v cos ё) -

- у cos 95 sin у) sin tp cos v cos &) -f-

-- zsin (p sin&; у = a;(sin (p cos rp -f- cos q} sin y) cos &) -

- (sin q> sin v - cos 95 cos y> cos Щ -

- zcos (p sin&; z = xsin y> sin ё -f ycos / sin & -{- z cos Эйлеровы углы применяются при изучении движения твердого тела. Общий случай (перенос начала и поворот осей) представля-

Фиг. 7.

ет собой соединение двух рассмотренных выше преобразований координат.

Цилиндрические К. На плоскости XOY вводим по.чярную систему К., а координату Z не изменяем. Координатами точки М служат r,(p,z.

Сферические К. (полярные). Исходя из декартовой системы К., определим пололеение точки М тремя числами (фиг. 7): ОМ=г (радиус-вектор), 2?: ZOMi? (полярный угол, его дополнение до прямого-широта) и двугранный УГОЛ плоскостей ZOM и ZOX, равный 2С ХОР = <р (долгота). Три числа (г, 9?, -д)-К. точки М. Связь сферич. К. с декартовыми К. определяется следуюшнми формулами: ж = г sin & cos q), у = г sin & sin 9?, 2 = г COS ; Г = Vx- + 2/- + z-. В последнее время в физике и механике чаше применяется иное расположение осей, а именно: положительная ось ОХ направляется вперед, 0Y-вправо; это располо-леепие имеет то преимущество, что вращение около оси 0Z от ОХ и 0Y совершается против часовой стрелки; такое направление вращения на плоскости обычно принимается

за положительное. , в. Степан .

в механике во многих случаях, в особенности при определении кинематич. величин точки, перемещающейся по нек-poii кривой двойной кривизны, применяются т. и. в н у -т р е н и и е, или натуральные, К. Пусть имеется нек-рая кривая С двойной кривизны (фиг. 8). Взяв на этой кривой произвольную точку А, проведем из нее три полупрямые: по направлению касательной в сторону возрастания дуг, по направлению главн. нормали в рассматриваемой точке к центру кривизны О и по бинормали. Полученный таким образом прямоугольный тетраэдр и составляет систему внутренних К. кривой. Каледой определенной точке кривой С соответствует определенное положение внутреннего тетраэдра. Пусть единичные векторы, определяющие вышеуказанные направления касательной, нормали и бинормали, будут соответственно сг, v и /i;тогда, очевидно, имеем:

[а V] = /г; [v /л] = о; [Д а] = v.

Если S-длина дуги, отсчитанная от некоторого начала А, то изменения направлений единичных векторов при переходе от точки А к бесконечно близкой к ней точке определяются следующими ф-лами Серре-Френе (см. Дифференциальная геометрия): da 1 d/j. 1 - dv 1 1

as е as о as е е

где q и q суть соответственно радиусы кривизны и кручения в точке А. При пёре-

Фиг. 8.

мещении точки А по кривой С, тетраэдр перемещается определенным образом в пространстве, вращаясь в одно и то же время около касательной (кручение) и около бинормали (изгиб).

При исследовании движения системы точек, находящихся под действием связей, применяются обобщенные, или л а г р а н-лс е в ы, К., при помощи к-рых выявляются зависимости, существующие между кине-Л1атич. величинами различных точек системы. Пусть точка А вынуждена перемещаться по нек-рой кривой С. Положение точки в пространстве, определяемое по отношению к некоторой системе отсчета радиусом-вектором г, зависит от некоторого параметра q, определяющего положение точки А на самой кривой, в качестве такого параметра мо:кет служить например длина дуги Ад А, отсчитываемой от нек-рого начала Ад. Т. о. ижееш:г=г (д). Если и сама 1еривая перемещается в пространстве, то очевидно, что г зависит также от времени t, так что r-r{q,t). Если точка вынуждена перемещаться по некоторой поверхности, то положение точки зависит от двух параметров qvL q, а при перемещении самой поверхности еще и от времени t, так что

Г = Г (91, t).

В качестве параметров q, q могут служить напр. К. точки в какой-нибудь криволинейной системе К., взятой на данной поверхности. В общем лее случае, если система, состоящая из v точек, перемещается в пространстве так, что в каждый данный момент точки занимают лишь положения, определяемые V ф-иями п произвольных параметров qi, qz,.-, qni а, возмонено, еще и времени t, то пололеения точек системы определяются радиусами-векторами:

й = П 42, q -,qnt) (г = 1, 2, 3,...,v), что равносильно наличию Зу равенств:

Xi=Xi (qi, q2,...,qu,t) \

Уг = Уг (qi, Я2,-,Я Л) (г = 1, 2,...,v). (qi, q. ...,qnJ) ) Произвольные параметры ql, q2,-.,qn называются обобщенными, и.ти лагранже-выми, К. Число их равно степени свободы системы (см. Механика теоретическая). Так, число обобщенных К. для движущегося велосипеда равно 9, а именно: две К. какой-либо точки прямой, по к-роп пересекается плоскость рамы с горизонтальной плоскостью, одна К., определяющая направление этой прямой, одна К., определяющая угол наклона плоскости рамы с горизонтальной плоскостью, две К., определяющие положение переднего колеса по отношению к плоскости рамы, одна К., определяющая положение заднего колеса, и две К., определяющие по.тожение педалей. Если в уравнениях Лагранлеа для какой-нибудь системы, имеющей потенциал L,

di \ dqk / dqk

(/cl,2,...,n)

отсутствуют какие-либо из обобщенных К. 7,., а имеются лишь их производные, то такие 1С.называются циклическими, отсутствующими или к и и о с т э н н ы м и, в отличие от К. присутствующих, или

видимых. Для первых ур-ия Лагранжа

принимают более простой вид: = 0. В

канонических ур-иях механики встречаются переменные, носящие название канонических К. ОК. с точки зрения теории групп см. Инварианты.

Лит.: М л о д 3 е с в с к и й Б. К., Основы ана-литическ. геометрии на плоскости, М., 1924; М л о д-зеевский Б. К., Основы аналитич. геометрии в пространстве, 5 изд.. М., 1924. М. Серебренников.

КООРДИНАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ, предложенная А. Вернером новая теория химич. строения, предложенная первоначально для объяснения образования, строения и изомерии комплексных соединений (см.), но впоследствии распространенная таклсе и на другие химическ. соединения. К. т. основана на представлении о силах химич. сродства (см. Валентность) как силах притялсения, действующих равномерно из центра атома во всех нанравлениях.

Лит.: Чичибабин А., Координационная теория Вернера, в ки. Д. И. Менделеева Основы химии, т. 2, стр. 693-711, М.-Л., 1928; Werner А., Neuere Anschaungen aul d. Gebiete d. anorganiscben Chemie, Brschw., 1923.

КОПАЙСКИЙ БАЛЬЗАМ получается грубой ПОДСОЧКОЙ растущих в Южн. Америке (Венесуела, Бразилия, Гвиана) различных ботанич. видов Copaifera и встречается в виде двух сортов-густого (маракаибо) и жидкого (пара или ангостура-бальзам). Первый сорт содержит около 40%, а второй до 90% эфирного масла, состоящего в большей своей части из сесквитерпенов (кариофиллен). Кроме того в состав К. б. входят почти исключительно аморфные смоляные кислоты, резены и очень незначительные количества кристаллич. смоляных кислот. К. б. фальсифицируется гурьюн-бальзамом, канифолью и живицей. Применение находит в медицине, в парфюмерно-косметич. препаратах и в красках для живописи.

Лит.: Вольф Г., Бальзамы, смолы, П., 1923; Wolf Н., Die naturlichen Harze, Stg., 1928.

КОПАЛЫ, группа лаковых смол (см.), отличающихся относительной твердостью и высокоплавкостью.

Классификация К. Многочисленные виды смол, поступающих на рынок под общим названием К., объединяются гл. обр. по функциональному признаку использования их при производстве лаков высокого качества, дающих твердую, прочную, глянцевитую и сравнительно теплостойкую пленку. Ни по своему происхождению ни по химическому составу и физич. свойствам К. не составляют группы родственных веществ и потому при обозначении К. наиболее существенно их видовое, чаще всего географич. название. Однако эти названия указывают часто не на область добычи К., а на тот или иной промежуточный торговый пункт доставки К. на европейск. рынок. Кроме того фирмы иногда рассматривают географич. названия К. icaic типовые для определенных свойств; например очень твердый К. часто называют, независимо от его происхождения, Занзибаром, а мягкий-Манилою. Визнер дает следующую основную классификацию К.: а) в о с т о ч-ноафриканские копалы (Занзибар, Мозамбик, Мадагаскар, линди); б) западноафриканские копалы (кизель-высший сорт сиерра-леоне, габун, лоанго, ангола.

Камерун);в) новозеландские и новокаледонские К. (каури); г) фи-липпинские и Зондские К. (манила); д) юлсноамериканские К. Другая классификация К. основана на делении их по наиболее ценному технич. свойству- твердости. На К. известковый шиат (твер-дость=3) производит царапину; сиерра-леоне, габун и ангола по твердости соответствуют каменной соли (твердость=2); Занзибар и Мозамбик тверже каменной соли, но мягче медного купороса, а беигуела, каури и манила мягче каменной соли. Ботлер делит К. на три разряда (твердые, средней твердости и мягкие; см. табл. 1).

Табл. 1. - Ш к а л а сравнительной твердости копалов (по Ботлеру).

Название копалов

Занзибар, анимс Мозамбик, аниме Мадагаскар, аниме Линди

Сиерра-леоне (кизель)

Ангола красный

Беигуела

Бастарт-ангола

Шаровой (стеклянная голова)

Акра

Название копалов

Бенин Лоанго Габун Конго

Сиерра-леоне (низший сорт) Ангола белый Каури

Манила Бориео Сингапур

Южноамериканский

Твердость К. испытывают не только пробой на штрих, но и склерометрич. путем (вдавливанием стального шарика при нагрузке 5 кг) или склероскопом Шора. При классификации К. может быть использована также тесно связанная с твердостью. Однако *°-ный промежуток между началом плавления, когда осколки начинают оплывать и с.типаться (так наз. нилсняя точка), и концом его, когда образуется отчетливый мениск и начинается разложение (верхняя точка) довольно растянут. Практически более важным считается верхний предел t° ., сводка данных о к-ром приведена в табл. 2.

Табл. 2. - Характеристика копалов по точкам плавления (по Г. Вольфу).

Нижний нреде.ч отстоит от верхнего на 15- 40° у низкоплавких К. и на 190-200°-у высокоплавких.

Смолы, объединяемые под названием К., доставляются различными растениями: одни К. представляют собою выделения растений (Copaifera, Trachylobium и Нушепеае), принадлежащих к подсемейству Cesalpinoideae (цезальпиниевых), семейства Leguminosae (бобовых), тогда как другие (манила и кау-