ности длины маятника при всяких f*, а не только для двух определенных значений Г, как то было достижимо при, применении обыкновенной стали.

Изучая изменение упругих свойств никелевой стали, Гильом нашел еще один способ fe применения. Коэфф. упругости данной никелевой стали п]ри разных t° изменяется вместе с изменением термич. коэфф-та расширения; чем этот последний меньше, тем коэфф. упругости больше. Но если к пике-левой стали прибавить марганец или хром, то способность ее к изменению упругих свойств ослабляется, и при содержании 12% хрома это изменение в пределах определенных 1° становится почти незаметным. Получаемый т. о. сплав, названный Гильомом эльипваром (elasticity invariable), т. е. сплав с неизменяющимся коэфф-том упругости, нащел себе применение в некоторых областях техники, напр. для изготовления нитей в крутильных весах, для изготовления часовых пpvжин и т. п. См. также Спр. ТЭ, т. II.

Лит.: G- U i 11 а U m е Ch. Ed., Etudes metrolo-giques sur les aciers au nickel, Travaux et memoires du Bureau international des poids et mesures , Paris, 1927, t. 17; С h e V e n a r d P., Recherclies exp6rimen-tales sur les alliages de ler, de nickel et de chrome, ibid. A. Доброхотов.

ИНВАРИАНТЫ в теории форм, такая функция коэфф-тов формы, которая, будучи умножена на модуль данного линейного преобразования, равна аналогичной функции коэфф-тов преобразованной формы (см. Алгебраическая форма). Линейное преобразование формы /(Xj, Kg, ..., xj, содержащей п переменных х, х, ..., х, состоит в замене этих переменных выражениями вида:

ж, = aS х -f ai> ж, + ... + ai ж X, = а[ X, + а</) Жз + ... + ак ж

где Жз, ..., х-новые переменные. Ф-ия q> (a?i, Жа,..., ж ),получившаяся в результате подстановки выражений (1) в данную функцию /, называется преобразованной функцией, а определитель

,(1) (1) (1)

,(2)

составленный из коэфф-тов выражений (1), называется модулем преобразования. Если A-i, А,..., Лй+1-коэфф-ты членов данной

формы /, а J-i, J.2, ..., Ап+1-коэфф-ты преобразованной формы 9?,товозмолшо образовать такую ф-ию I от Al, А, ..., A+i, называемую И. данной формы /, к-рая, будучи умножена на модуль преобразования в некоторой степени, будет равна такой же ф-ии от Al, А, ..., Ац+1, так что

I{Ai, Aj,.., A,+i)D=

= 1(1, А, ...,A +i). (о)

Так, напр., для квадратичной формы с двумя переменными Aixf + 2А2X1X2 + AgXl имеем

формулы линейного преобразования: ж = а + а* Жз;

ж, = а

ж. а

Подставляя эти значения Xi и Жз в данную ф-ию, получаем преобразованную ф-ию:

<р А{а[х,+а[х,) + + 2А {ai Xi + ai ж,) (af > ж, + а[ х) + . + A,ia[x + aix,) = AiX\ + -2A,xx,+Ax\,

А, = А, aS> + 2.4, а<> а + А, af , А, = А, а\ а() + А, (а(> а + а а) +

А, = А, а(> -f 2А, а[ ар + Л af .

Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае имеет место следующее равенство:

{A,A,-Al)D = AiA,-Al,-а[

так что АА - А есть И. рассматриваемой квадратичной формы. И. последних типов встречаются в аналитической геометрии.

В теории групп И. группы преобразований называется такая ф-ия координат ж и ж двух каких-либо точек многообразия и-го измерения М, к-рая при всех преобразованиях, принадлежащих к данной группе, сохраняет свой вид.

Пусть имеем п переменных ж, х, Жд, ж,, могущих принимать всевозможные значения от --оо до -оо. Совокупность Мп всех значений этих переменных называется многообразием и-го измерения. Совокупность каких-нибудь определенных значений этих переменных х[ , xi, х называется точкой или э л е-ментом многообразия, а отдельные значения этих величин называются координатами этой точки. Если переменные Ж1, Жг,..., ж связаны определенным образом с переменными ж, Жг, ..Хп другого многообразия п-то измерения М , то говорят, что одно многообразие переходит в другое при помощи преобразования координат или при помощи точечного преобразования, при че1М обычно требуется еще, чтобы каждая точка одного многообразия переходила в одну и только в одну точку другого многообразия, и обратно. Наиболее простым точечным преобразованием является преобразование, при к-ром координаты преобразованного многообразия М являются линейными ф-иями преобразуемого многообразия Ж , т. е. при котором имеют место следующие равенства: п

ж,: = г + 2 ?г = 3,..., п). (4)

Усчовием того, чтобы каждая точка Ж пере-

ходила в одну;-и только в одну-точку Мп, служит неравенство:

(п) д(п) n.W

где левая часть есть определитель (см.), составленный из коэфф-тов а\ Преобразование, выраженное формулами (4), носит название аффинного преобразования. Если, кроме того, коэфф-тов а* связаны между собой соотношениями

2;afaf = 6(; r,s = 1,2,3, ... ,п, (6)

при чем 5® = + 1 при г = S и д = О при гфз ,

то преобразование называется аффинным ортогональным преобразованием. Так, для случая трехмерного многообразия, т. е. при w=3, уравнения аффинного преобразования (4) принимают следующий вид:

(2),

(3),

,(3),

Для случая же аффинного ортогонального преобразования имеем, кроме того, следующие соотношения, получаемые из (6) и выражающие обычные условия ортогональности в трехмерном пространстве:

(а;)Ч {a\Y + {аУ= 11 а\а\+ а\а\+ а\а\=0

)Ч )Ч(ар=1

Х+ Х+ Х=о[.(8)

Пусть имеется точечное преобразование, определяемое ф-лами

f = 9i -(ах 2, Жз, ..., asj,

где г = 1, 2,..., п, и другое точечное преобразование, определяемое ф-лами

где г = 1,2,... , п; тогда точечное преобразование

где г = 1, 2,... , ?г, являющееся результатом последовательного применения данных преобразований, называется их произведением. Обозначая символически эти преобразования соответственно через Тц Та и Т, можно написать: Т = Т2 Tj, что в символической форме представляет следующее равенство:

JtCi, 2,...., ж ) = даг [911(1, 2,ж ), 9>12(Ж1, Жг, ж, 9i ( i, Жа, Ж )] . (9)

Нетрудно видеть, что произведение преобразований обычным свойством коммутативности не обладает.

В качестве примера действия над преобразованиями рассмотрим следующий слу-

чай. Преобразование Ti заключается в следующем: Xi = 3Xi-\-щ, а преобразовйние Tg: Xi=2Xi-bi.,

Т = Т2Т1 =2(3ж; + щ) ~ hi = Щ \-2ai - Ц ;

Т = Т1Т2 = 3(2ж,. - Ь) + ai = бж,- - Zbi ; ТФТ.

Можно рассматривать не одно какое-либо преобразование, а целую совокупность преобразований, обладающих каким-нибудь общим свойством. Из таких совокупностей особое значение имеют в современной теоретич. физике и в теории относительности т. н. группы преобразований (см. также Группа). Группой преобразований называют такую совокупность их, к-рая обладает тем свойством, что всякое произведение преобразований, входящих в состав данной совокупности, есть преобразование, также входящее в данную совокупность; например, если преобразования Tj, Т, Tg входят в состав какой-либо группы преобразований, то преобразования ТТ, ТТ, ТТТ и т. д. также входят в состав этой группы. Символически группу преобразований обозначают

Часто какая-либо часть преобра-

через

зований, входящих в состав данной группы, обладает каким-нибудь свойством, не общим для всей группы; тогда они составляют т. н. подгруппу преобразований. Само собою разумеется, что подгруппа преобразований также составляет группу; так, из группы точечных преобразований можно выделить т. н. т-п араметренную подгруппу точечных преобразований, т. е. такую совокупность их, к-рая зависит существенным образом от т произвольных параметров q, q,..., qmi так что

Xi = (Pi(Xi, Ж2,..., ж , q, q,..., qj, (10) где г=1, 2,..., п. Такую т-параметренную

группу символически обозначают через G Частный вид аффинных преобразований), например

Xi = Xi + ai, (11)

где г= 1, 2,..., п, содержит в себе п параметров tti, так что эту группу аффинных пре-

образований, называемую группой параллельного переноса, можно символически обозначить через G. Общая же группа аффинных преобразований (4) содержит п па-

2 TTQnQmt<vrr\r\Ti /Tli)

раметров % и п параметров а] , так что ее можно символически обозначить через G,j* . При W = 3 эта группа будет содержать 12 параметров. Аффинная группа преобразований содержит в себе две подгруп-.пы: подгруппу параллельного переноса (11), получающуюся из (7) при af = О,

если ъФ1, я af = l, если г=[, и т. н. однородную подгруппу аффинных преобразований, получающуюся при О и содержащую п параметров a\.

При исследовании целого ряда вопросов теоретич. физики, геометрии и т. д. особенно важное значение приобретают понятия И. группы и инвариантных ур-ий группы. Как было уже сказано выше, И.

группы преобразований Т называется такая ф-ия координат ж и xf двух каких-либо произвольно взятых точек многообра зия Мп, к-рая не меняет своего вида при всех преобразованиях, входящих в состав данной группы. Т. о., если

x[\xi\xi>,...,x) (12)

есть И. данной группы, то должно иметь место равенство

(1) (1)

(1) -(2) -(2)

при всех преобразованиях данной группы; так, для группы параллельного переноса (11) И. будет

= .ж>-ж.()

(г = 1, 2,..., п), (12) ж1 -Ьа-ж-а.,=

(1) (2)

Инвариантным ур-иём данной группы преобразований Т называется такое ур-ие, содержащее координаты каких-либо двух точек многообразия М ,

I (ж),ж<),ж();...,ж(,),ж;),ж(\...,ж(?>)0, (13)

к-рое имеет при всех преобразованиях группы те и только те решения, что и ур-ие

I(ж,хЧ\ж(\....ж1>,ж;*>, ж(>,ж!>)==0, (130 рассматриваемое как уравнение относительно ж и ж.

Если дана какая-либо ф-ия (12) координат ж и xf\ то совокупность всех преобразований, при к-рых эта ф-ия сохраняет свой вид, образует группу точно так же, как все преобразования, сохраняющие инвариантность данного ур-ия (13).

В частной теории относительности Эйнштейна и в электродинамике имеет фундаментальное значение особая подгруппа аффинной группы в М4, называемая общею группою Лоренца и имеющая следующий инвариант:

1=(ж(/> -ж;>)+{х:-ху + (4)-ху -

-cixp-xpY. (14)

Кроме того, встречается аффинная подгруппа преобразований в М, имеющая инвариантное уравнение той же формы, что и (14), т. е. инвариантное ур-ие

J = (ж-ж;)) -f {x-xtY + (4)-aU))- -c4xl-xlY = 0. (14)

Последняя группа преобразований носит название расширенной группы Лоренца. Аналогично можно говорить об общей и расширенной группах Лоренца в многообразии М. В последнем случае формулы аффинного преобразования имеют следующий вид (из ф-лы 7):

(15)

ж, = a,-fa;)ж,-fa(>a;, j Или, если обозначить для простоты х и х

через ж и а коэфф-ты а, а\ а*\ а, о*, а соответственно через а, а, а, Ь, bi, b, то получим:

x = a + aiX + a2t \ ,.кч

t = b+bix+bt i Подставляя значение (15) в равенство (() U))= c(f() p))2 =

= (ж() -ж()) - cV>- tY , (16)

выражающее требующуюся инвариантность, и произведя соответствующие преобразования, получим следующие соотношения между коэффициентами;

где - при этом группа преобразований (15) принимает следующий вид:

х = а +

X -vt

tb +

(18)

(19)

Полученная группа Лоренца в М, имеющая И. (16), называется частной группой Лоренца и имеет фундаментальное значение как в частной теории относительности, так и в новейшей волновой механике (de Broglie и др.).

Теория И. и соответствующих групп преобразований имеет крупное значение, т. к. по современным воззрениям как свойства пространства, так и основные свойства законов природы не зависят от координатных систем, т. е. они инвариантны по отношению к преобразованию координат. Об И. с точки зрения тензорного анализа см. Тензорное исчжленив.

В теоретич. механике играют известную роль т. н. интегральные И., сущность к-рых в простейших случаях заключается в следующем. Допустим, что имеется система дифференциальных ур-ий;

где Xi, Xz,Xn суть нек-рые ф-ии переменных Ж1, Жг,..., ж и Если принять переменные Xi за координаты пространства п измерений, а t рассматривать как меру времени, то совокупность дифференциальных уравнений (19) определит некоторое семейство кривых (-D). Ур-ия движения точки по какой-либо из кривых семейства (D), а тем самым и вид кривой соответствуют определенным начальным условиям движения, т. е. значениям координат ж?, ж51, имев-

шим место в момент t°. Обозначим это начальное положение точки через Р , а положение ее в момент t через Р. Допустим, что мы рассматриваем вариации координат при перемещении Р по нек-рой кривой или при соответствующем перемещении Р по кривой С, и возьмем далее интеграл

IjQiSxi + QSx + .-.+Qnx, (20) где Qi суть нек-рые ф-ии переменных Xi,Xg, Ж3,..., ж и i, а интеграл взят вдоль кривой С