Альтернативное бурение вглубь
Изношенную деталь окуните в пластмассу
Наклонные этажи
Прогоночно-испытательная установка для электродвигателей
Сварка в жидком стекле
Термояд, каков он сегодня
Блокнот технолога
Вибрация против вибрации
Где ты, росток
Для луга и поля
Машина, резко ускоряющая ремонт путей
Назад к веслам!
Несправедливость
Новое слово строителей
Ориентирное устройство для напольной камеры
Подземный смерч дает воду
Предотвращающий падение
Трактор, построенный семьей
Сверхлегкий стан
Текучий уголь - большие ожидания
|
Литература --> Изомерия в производственном цикле Фиг. 2. рассмотренного вида. Иногда выгодно применить полярные координаты. Пусть ур-ие кривой r = f{(p). Площадь сектора (фиг. 2) АОВ разбиваем на п элементарных секторов с углами при вершине Aq>i. Каждый такой сектор представим по избытку и недостатку как круговой, по ф-лам ~ Дд? и Aq>, где Mf и m-наибольший и наименьший радиусы-векторы. В пределе при w- ooполучим: площадь АОВ = lfr(p = lJ [fi<p)] dq>. Если замкнутая кривая окружает начало, за пределы интеграции принимают О я 2л. П-р и мер. Ур-ие круга в полярных координатах г=а. Площадь круга равна Длина дуги. Дифференциал дуги (см. Дифференциальная геометрия) ds = = Vdx + dy. Если кривая задана ур-ием у = = /(ж), то ее дуга между точками с абсциссами а и Ь равна JVl + [nx)f dx. В случае параметрич. ур-ий Пример. Для циклоиды дифференциал дуга ds = 2а sin dt. Длина одной ветви t V t~\ s = 2а J sin 2 = - 4а icoSg =8a. Длина дуги в полярных координатах дается формулой: s = JVdr~+r4. Объем тела вращения. Кривая y=f{x) вращается около оси абсцисс; требуется определить объем, ограниченный поверхностью вращения и плоскостями ж=а, х=Ь. Разбивая объем на элементарные, которые вьршсляем по избытку и недостатку как круглые цилиндры, и переходя к пределу, найдем: F = я/2/2 ж = я / [/(ж)]2 йж . а а Вообще, если у тела любой формы площади сечений, перпендикулярных к оси абсцисс, известны в ф-ии ж, напр. X, то объем выразится следующим образом: VJXdx. Ц,римвр. Найти объем эллипсоида При данном Ж имеем в сечении эллипс Ь (а - зс ) а с (а* - х) а С полуосями Уа - ж* и Уа - з и с площадью (а*-ж). Искомый объем . Ла . Г = /(а -ж2)йж = яа&с. Поверхность тела вращения S выражается интегралом: ft 6 S2Jyds = 2Mj fix) У1 + [fix)f dx . Центр тяжести. В механике координаты ц. т. системы точек Pj с массой т и координатами (Жх, yi),Pzim2,X2,y2)--- даются формулами: £ mjXi s miVi Если масса распределена непрерьшно, мы совершаем переход к пределу и вместо сумм получаем интегралы. 1) Центр тялгести дуги. Принимая массу единицы длины равной 1, будем иметь: Sxds Svds а J-ds 2)Центртягкести плоской фигуры. Считаем массу единицы площади равной 1. Берем криволинейную трапецию, разбиваем ее на полоски и заменяем их прямоугольниками. Замечая, что площадь элементарного прямоугольника равна ух, а ц. т. находится на половине высоты, получаем, переходя к пределу: Sxy dx а Svdx 1 ь а Ь fy dx Пример. Найти ц. т. полукруга у = + Уа-х. Очевидно 5 = 0; 2/ = / (а-ж2)йж:ла = . Момент инерции плоской фигуры. Момент инерции относительно оси абсцисс конечной системы точек 1д. имеет выражение: Ij; = 2 mj- у% а относительно оси ординат: 1у = 2 т.1 ж?. Для криволинейной трапеции & получим: J хУ dx. Для вычисления 1у заметим, что момент инерции элементарного прямоугольника равен Дж, откуда h = kSydx. Интеграл как функция параметра. Пусть подинтегральная ф-ия зависит, кроме X, еще от параметра t. Интеграл J f(x, f)dx не зависит, как мы видели, от х, а НО является ф-ией параметра t. Применяя определение производной, получаем ф-лу: t)dx = Jlj{x, t)dx, дающую правило дифференцирования определенного интеграла по параметру. Если -пределы интегрирования а и & тоже зависят от *, формула примет вид: 1-/f(x,t)dx = f§-Kx,t)dx + Определенный интеграл как ф-ию параметра можно также интегрировать по параметру. В случае постоянных пределов имеем: / { }пх, t)dx }dt = S{ Snx, t)dt } dx, a a a a Т.е. порядок интегрирования по переменному и по параметру можно менять. В случае бесконечных пределов интеграции это правило справедливо только в случае равномерной сходимости интеграла J* f(x, t) dx; это значит: для сколь угодно малого е можно найти достаточно большое Ь так, что fix, t) dx для всех значений t в пределах интеграции. Приближенное вычисление интегралов (механические квадратур ы)-см. Вы-чжления приближенные. Интегрирование рядов-см. Ряды. Двойные интегралы. Дана непрерывная ф-ия от двух переменных / (ж, у). Уравнение z = fix, у) геометрически представит поверхность. Требуется определить объем, Фиг. 4. ограниченный этой поверхностью, плоскостью XY и цилиндрич. поверхностью, направляющая которой-замкнутая кривая С на плоскости XY. Разбиваем плоскость XY прямыми, параллельными осям координат, на маленькие прямоугольные площадки Ах-Ау и через линии деления проводим плоскости, параллельные 0Z (фиг. 3). Отберем те прямоугольники, к-рые имеют обпще точки с площадью В, ограниченной кривою С; в каждом прямоугольнике берем соответствующее значение f{x,y), напр. fiXi,y), и составляем сумму: S /(ж, if) Дж Ау . Предел этой суммы, когда Дж и Ау стремятся к нулю, запишется как JJ /(ж, y)dxdy (двойной ин- теграл, распространенный на область В). Геометрически он представит искомый объем. Для вычисления двойного интеграла производим под знаком S суммирование сначала по у, потом по ж (или наоборот). Предположим, что кривая пересекается параллелями к оси ординат в двух точках. При переходе к пределу придется сначала интегрировать по у от М до N, затем по ж от а до b (фиг. 4). Для аналитическ. выражения предположим, что дуга АМВ дана ур-ием y=<Pi{x), дуга AN В-ур-ием y=Pi{x). Тогда Ь (Pi(x) S S /(ж. У) dy= S dxj fix, у) dy . (В) а 4>i(x) В частности, если В-прямоугольник, ограниченней прямыми: х~а; х=Ь; у=с; y=d, получим: . ь d J / /(ж, 2/) dxdy dxjf (ж, у) dy (Б) .а с (пределы по у также постоянны). Замена переменных в двойном интеграле. Пусть надо ввести такие переменные и и V, что x=(piu, v), y==y>iu,v). Тогда имеем ф-лу: SS f у) У= / f9 ) V(w, V)] 1Di dudv, (В) iW) где D есть определитель Якоб и: ди dv 9v ду> ди dv а W-область плоскости iu,v), в которую переходит область В. В частности, при переходе к полярным координатам х~г cos у, =г sin gj, имеем: дх дх дг д<р ду ду дг д9 следовательно, Sjifix, у) dxdy = JJ fir cos , г ain q>)r dr dq>. Пример. Интеграл Пуассона IJe-dx. Имеем = j e-=* dx f e-v dy = j e-*-v* dx dy двойной интеграл, распространенный на всю площадь. Переходим к полярным координатам: 2л 09 ! = JJe-dr d(p J d<p J e-rdr=Tc, следовательно, 1 = 1 Приложениядвойного интеграла. Кроме вычисления объемов, двойной интеграл служит для вычисления кривых поверхностей. Здесь имеем ф-лу: площадь поверхности z = f(x, у), ограниченной цилиндром с направляющей С: S = JSVl + n-hndxdy, дх 1 ду Координаты ц. т. площади .В выразятся так: SSxdxdy Sfydx dy - (В) В и- в Момент инерции площади В относительно оси ординат: I = JJx dx dy. Тройной интеграл. Дается функция трех переменных /(ж, у, z) и область В, ограниченная поверхностью S. Пространство разбивается плоскостями, параллельными координатным, на малые параллелепипеды и составляется сумма произведений значений ф-ии внутри параллелепипеда на его объем: f(.Xi,yk,zi) Ах Ау Az; знак суммы распространяется на параллелепипеды, имеющие общие точки с В. Предел этой суммы есть тройной интеграл: j/( У ) dx dy dz. Его вычисление сво-(В) дится к последовательному интегрированию сначала по х, затем по у, наконец - по z. Тройной интеграл применяется к вычислению ц. т. и моментов инерции объемов, также в гидромеханике, теории потенциала и т.д. Криволинейные интег-ралы. Пусть дана функция fix, у) и на плоскости XY кривая С: х=<рЦ), 2/ = v(0- Под криволинейным интегралом по кривой С от точки АЦ) до точки В(*х). т. е. /Р(ж, у) dx, понимается интеграл J P[q>ii)wi014>it)dt. Этот интеграл зависит от направления кривой: интеграл от В до J. равен интегралу от А до В, взятому с обратным знаком. Аналогично определяется jQix,y)dy и наиболее общий криволинейный интеграл JPdx+Qdy. Если, в частности, кривая С замкнутая и ограничивает область В, то существует следующая связь криволинейного интеграла с двойным (ф-ла ГрИна): (С) (В) Подобно криволинейному интегралу определяется интеграл по поверхности. Имеем ф-ию от 3 переменных Е(ж, y,z) и поверхность S; тогда JJB (ж, y,z)dxdy = JJR (ж, у, z) cosy da , (S) где x,y, z выражены в функции переменных и, V (см. Дифференциальная геометрия), da-элемент площади поверхности, у-угол нормали с осью 0Z, Наиболее общий интеграл по поверхности JJPdy dz + Qdzdx+Rdx dy = jj (p cosa -- Q cos/5 -t R cosy) da, где a и -углы нормали с осями OX и OY. Если поверхность S замкнута и ограничивает объем V., то этот интеграл равен Snii+fyu)y (ф-ла Остро- градско го-Грина). Пусть в пространстве дан криволинейный интеграл j Р йж -Ь 4- Q dy-\- Rdz. Если кривая L замкнутая, то этот интеграл можно выразить через двойной интеграл по части произвольной поверхности 27, ограниченной кривою L; а именно, имеет место равенство (формула Стокса): jPdx-\-Qdy+Rdz = -m-mdydz + Эти формулы имеют большое применение в механике; их более простую запись и геометрическую интерпретацию дает векторное жчисление (см.). Лит.: г у р с а Э., Курс математич. анализа, пер. с франц., т. 1, М., 1911; Филипс Г., Интегральное исчисление, пер. с англ., М.-Л., 1927; Гренвиль В., Элементы диффер. и интегр. исчисления, пер. с англ., ч. 2, 6 изд., М.-Л., 1928; Б и-б ер б ах Л., Дифференциальное и интегральное исчисление, цер. с нем., ч. 2-Интегральное исчисление, М., 1924. В. Степанов. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ур-ия, в к-рых искомая ф-ия входит под знаком интеграла. Первое И. у. получено и решено Абелем, исследовавшим механич. задачу: определить вид кривой, по к-рой движется маятник, если время колебания Т есть данная ф-ия наибольшей высоты. Представляя ур-ие искомой кривой в виде 8~Ф iz) is-длина дуги, Z-высота), мы для ф-ии 93 (0) = Ф(0) получаем И. у. Абеля: где fib,) = / {я-ускорение силы тяжести).Ур-ие (1) имеет решение: ф(/) = >()й = Общая теория И. у. создана трудами Воль-терра, Фредгольма, Гильберта и др. Уравнения Вольтерра 1-го рода являются обобщением ур-ия Абеля; общий вид такого ур-ия: fix) = fKix,s)<pis)ds, где / и К-данные ф-ии, (р-искомая ф-ия. Ф-ия К называется ядром И. у.; в случае (1)ядро равно ; оно бесконечно при Ух - s x=s; этот случай в общей теории представит
|