Литература -->  Изомерия в производственном цикле 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


Фиг. 2.

рассмотренного вида. Иногда выгодно применить полярные координаты. Пусть ур-ие кривой r = f{(p). Площадь сектора (фиг. 2) АОВ разбиваем на п элементарных секторов с углами при вершине Aq>i. Каждый такой сектор представим по избытку и недостатку как

круговой, по ф-лам ~ Дд? и Aq>, где

Mf и m-наибольший и наименьший радиусы-векторы. В пределе при w- ooполучим:

площадь АОВ = lfr(p = lJ [fi<p)] dq>.

Если замкнутая кривая окружает начало, за пределы интеграции принимают О я 2л.

П-р и мер. Ур-ие круга в полярных координатах г=а. Площадь круга равна

Длина дуги. Дифференциал дуги (см. Дифференциальная геометрия) ds = = Vdx + dy. Если кривая задана ур-ием у = = /(ж), то ее дуга между точками с абсциссами а и Ь равна

JVl + [nx)f dx.

В случае параметрич. ур-ий

Пример. Для циклоиды дифференциал дуга

ds = 2а sin dt. Длина одной ветви

t V t~\

s = 2а J sin 2 = - 4а icoSg =8a.

Длина дуги в полярных координатах дается формулой:

s = JVdr~+r4.

Объем тела вращения. Кривая y=f{x) вращается около оси абсцисс; требуется определить объем, ограниченный поверхностью вращения и плоскостями ж=а, х=Ь. Разбивая объем на элементарные, которые вьршсляем по избытку и недостатку как круглые цилиндры, и переходя к пределу, найдем:

F = я/2/2 ж = я / [/(ж)]2 йж .

а а

Вообще, если у тела любой формы площади сечений, перпендикулярных к оси абсцисс, известны в ф-ии ж, напр. X, то объем выразится следующим образом:

VJXdx.

Ц,римвр. Найти объем эллипсоида При данном Ж имеем в сечении эллипс

Ь (а - зс ) а

с (а* - х) а

С полуосями Уа - ж* и Уа - з и с площадью (а*-ж). Искомый объем

. Ла .

Г = /(а -ж2)йж = яа&с.

Поверхность тела вращения S выражается интегралом:

ft 6

S2Jyds = 2Mj fix) У1 + [fix)f dx .

Центр тяжести. В механике координаты ц. т. системы точек Pj с массой т и координатами (Жх, yi),Pzim2,X2,y2)--- даются формулами:

£ mjXi s miVi

Если масса распределена непрерьшно, мы совершаем переход к пределу и вместо сумм получаем интегралы.

1) Центр тялгести дуги. Принимая массу единицы длины равной 1, будем иметь:

Sxds

Svds а

J-ds

2)Центртягкести плоской фигуры. Считаем массу единицы площади равной 1. Берем криволинейную трапецию, разбиваем ее на полоски и заменяем их прямоугольниками. Замечая, что площадь элементарного прямоугольника равна ух, а ц. т. находится на половине высоты, получаем, переходя к пределу:

Sxy dx а

Svdx

1 ь а Ь

fy dx

Пример. Найти ц. т. полукруга у = + Уа-х.

Очевидно

5 = 0; 2/ = / (а-ж2)йж:ла = .

Момент инерции плоской фигуры. Момент инерции относительно оси абсцисс конечной системы точек 1д. имеет выражение: Ij; = 2 mj- у% а относительно оси ординат: 1у = 2 т.1 ж?. Для криволинейной трапеции &

получим: J хУ dx. Для вычисления 1у

заметим, что момент инерции элементарного прямоугольника равен Дж, откуда

h = kSydx.



Интеграл как функция параметра. Пусть подинтегральная ф-ия зависит, кроме X, еще от параметра t. Интеграл

J f(x, f)dx не зависит, как мы видели, от х, а

НО является ф-ией параметра t. Применяя определение производной, получаем ф-лу:

t)dx = Jlj{x, t)dx,

дающую правило дифференцирования определенного интеграла по параметру. Если -пределы интегрирования а и & тоже зависят от *, формула примет вид:

1-/f(x,t)dx = f§-Kx,t)dx +

Определенный интеграл как ф-ию параметра можно также интегрировать по параметру. В случае постоянных пределов имеем:

/ { }пх, t)dx }dt = S{ Snx, t)dt } dx,

a a a a

Т.е. порядок интегрирования по переменному и по параметру можно менять. В случае бесконечных пределов интеграции это правило справедливо только в случае равномерной сходимости интеграла J* f(x, t) dx; это

значит: для сколь угодно малого е можно найти достаточно большое Ь так, что

fix, t) dx

для всех значений t в пределах интеграции.

Приближенное вычисление интегралов (механические квадратур ы)-см. Вы-чжления приближенные.

Интегрирование рядов-см. Ряды.

Двойные интегралы. Дана непрерывная ф-ия от двух переменных / (ж, у). Уравнение z = fix, у) геометрически представит поверхность. Требуется определить объем,


Фиг. 4.

ограниченный этой поверхностью, плоскостью XY и цилиндрич. поверхностью, направляющая которой-замкнутая кривая С на плоскости XY. Разбиваем плоскость XY прямыми, параллельными осям координат, на маленькие прямоугольные площадки Ах-Ау и через линии деления проводим плоскости, параллельные 0Z (фиг. 3). Отберем те прямоугольники, к-рые имеют обпще точки с площадью В, ограниченной кривою С;

в каждом прямоугольнике берем соответствующее значение f{x,y), напр. fiXi,y), и составляем сумму: S /(ж, if) Дж Ау . Предел этой суммы, когда Дж и Ау стремятся к нулю, запишется как JJ /(ж, y)dxdy (двойной ин-

теграл, распространенный на область В). Геометрически он представит искомый объем. Для вычисления двойного интеграла производим под знаком S суммирование сначала по у, потом по ж (или наоборот). Предположим, что кривая пересекается параллелями к оси ординат в двух точках. При переходе к пределу придется сначала интегрировать по у от М до N, затем по ж от а до b (фиг. 4). Для аналитическ. выражения предположим, что дуга АМВ дана ур-ием y=<Pi{x), дуга AN В-ур-ием y=Pi{x). Тогда

Ь (Pi(x)

S S /(ж. У) dy= S dxj fix, у) dy .

(В) а 4>i(x)

В частности, если В-прямоугольник, ограниченней прямыми: х~а; х=Ь; у=с; y=d, получим:

. ь d J / /(ж, 2/) dxdy dxjf (ж, у) dy

(Б) .а с

(пределы по у также постоянны).

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть надо ввести такие переменные и и V, что x=(piu, v), y==y>iu,v). Тогда имеем ф-лу:

SS f у) У= / f9 ) V(w, V)] 1Di dudv,

(В) iW)

где D есть определитель Якоб и:

ди dv 9v ду> ди dv

а W-область плоскости iu,v), в которую переходит область В. В частности, при переходе к полярным координатам х~г cos у, =г sin gj, имеем:

дх дх дг д<р ду ду дг д9

следовательно,

Sjifix, у) dxdy = JJ fir cos , г ain q>)r dr dq>. Пример. Интеграл Пуассона

IJe-dx.

Имеем

= j e-=* dx f e-v dy = j e-*-v* dx dy

двойной интеграл, распространенный на всю площадь. Переходим к полярным координатам:

2л 09

! = JJe-dr d(p J d<p J e-rdr=Tc,

следовательно, 1 = 1

Приложениядвойного интеграла. Кроме вычисления объемов, двойной интеграл служит для вычисления кривых



поверхностей. Здесь имеем ф-лу: площадь поверхности z = f(x, у), ограниченной цилиндром с направляющей С:

S = JSVl + n-hndxdy,

дх 1 ду

Координаты ц. т. площади .В выразятся так: SSxdxdy

Sfydx dy - (В)

В и- в

Момент инерции площади В относительно оси ординат:

I = JJx dx dy.

Тройной интеграл. Дается функция трех переменных /(ж, у, z) и область В, ограниченная поверхностью S. Пространство разбивается плоскостями, параллельными координатным, на малые параллелепипеды и составляется сумма произведений значений ф-ии внутри параллелепипеда на его объем:

f(.Xi,yk,zi) Ах Ау Az;

знак суммы распространяется на параллелепипеды, имеющие общие точки с В. Предел этой суммы есть тройной интеграл: j/( У ) dx dy dz. Его вычисление сво-(В)

дится к последовательному интегрированию сначала по х, затем по у, наконец - по z. Тройной интеграл применяется к вычислению ц. т. и моментов инерции объемов, также в гидромеханике, теории потенциала и т.д.

Криволинейные интег-ралы. Пусть дана функция fix, у) и на плоскости XY кривая С: х=<рЦ), 2/ = v(0- Под криволинейным интегралом по кривой С от точки АЦ) до точки В(*х). т. е. /Р(ж, у) dx, понимается

интеграл J P[q>ii)wi014>it)dt. Этот интеграл

зависит от направления кривой: интеграл от В до J. равен интегралу от А до В, взятому с обратным знаком. Аналогично определяется jQix,y)dy и наиболее общий криволинейный интеграл

JPdx+Qdy.

Если, в частности, кривая С замкнутая и ограничивает область В, то существует следующая связь криволинейного интеграла с двойным (ф-ла ГрИна):

(С) (В)

Подобно криволинейному интегралу определяется интеграл по поверхности. Имеем ф-ию от 3 переменных Е(ж, y,z) и поверхность S; тогда

JJB (ж, y,z)dxdy = JJR (ж, у, z) cosy da , (S)

где x,y, z выражены в функции переменных и, V (см. Дифференциальная геометрия), da-элемент площади поверхности, у-угол

нормали с осью 0Z, Наиболее общий интеграл по поверхности

JJPdy dz + Qdzdx+Rdx dy

= jj (p cosa -- Q cos/5 -t R cosy) da,

где a и -углы нормали с осями OX и OY. Если поверхность S замкнута и ограничивает объем V., то этот интеграл равен

Snii+fyu)y (ф-ла Остро-

градско го-Грина). Пусть в пространстве дан криволинейный интеграл j Р йж -Ь

4- Q dy-\- Rdz. Если кривая L замкнутая, то этот интеграл можно выразить через двойной интеграл по части произвольной поверхности 27, ограниченной кривою L; а именно, имеет место равенство (формула Стокса):

jPdx-\-Qdy+Rdz = -m-mdydz +

Эти формулы имеют большое применение в механике; их более простую запись и геометрическую интерпретацию дает векторное жчисление (см.).

Лит.: г у р с а Э., Курс математич. анализа, пер. с франц., т. 1, М., 1911; Филипс Г., Интегральное исчисление, пер. с англ., М.-Л., 1927; Гренвиль В., Элементы диффер. и интегр. исчисления, пер. с англ., ч. 2, 6 изд., М.-Л., 1928; Б и-б ер б ах Л., Дифференциальное и интегральное исчисление, цер. с нем., ч. 2-Интегральное исчисление, М., 1924. В. Степанов.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ур-ия, в к-рых искомая ф-ия входит под знаком интеграла. Первое И. у. получено и решено Абелем, исследовавшим механич. задачу: определить вид кривой, по к-рой движется маятник, если время колебания Т есть данная ф-ия наибольшей высоты. Представляя ур-ие искомой кривой в виде 8~Ф iz) is-длина дуги, Z-высота), мы для ф-ии 93 (0) = Ф(0) получаем И. у. Абеля:

где fib,) = / {я-ускорение силы тяжести).Ур-ие (1) имеет решение:

ф(/) = >()й =

Общая теория И. у. создана трудами Воль-терра, Фредгольма, Гильберта и др.

Уравнения Вольтерра 1-го рода являются обобщением ур-ия Абеля; общий вид такого ур-ия:

fix) = fKix,s)<pis)ds,

где / и К-данные ф-ии, (р-искомая ф-ия. Ф-ия К называется ядром И. у.; в случае (1)ядро равно ; оно бесконечно при

Ух - s

x=s; этот случай в общей теории представит



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163