Литература -->  Изомерия в производственном цикле 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163

не вводить новой буквы для вспомогательного переменного. Примеры.

1) / а+Ьх полагаем: x=f, dx = dt;

2) Jtgxdx=J

sin x dx

: + С.

d cos X

/а cos эс 1 ,

(здесь опускаем подстановку: cos х = t). 3) Jsin ajd= Jiz.cos2x

J dx - Ji cos 2ж da;; подставляя 2x=t, получаем:

J-jcos2ccd(2x)= --8ш2ж + С.

Интегрирование по частям. Этот способ является следствием правила дифференцирования произведения: d{uv)udv + + vdu, откуда Ju dv = uv - Jv du.

Если в заданном интеграле представим подинтетральное выражение в виде и dv, то может случиться, что Jvdu представит собой уже известный интеграл или, по крайней мере, будет проще данного; тогда метод оказывается целесообразным.

Примеры.

1) J же dx; полагаем х=и, edx=dv, тогда v = e,du = dx-H. J хё dx = xe - J edx = xe - -e+C.

2) J arc tga; dx; полагая arctgs=M, dx=dv, находим:

.arct8.-/i.-.arctg.4/?

= Ж arc tga; - In (1 -I- ж ) -f С .

Интегрирование рациональных

функций. Требуется вычислить J dx,

где /(ж) и F(ж)-многочлены. Если степень /(ж) больще (или равна) степени F{x), то при помощи деления выделяем многочлен, к-рый

мы умеем интегрировать; остается j*jy dx ,

где степень многочлена q}{x) меньше степени (ж). Разлагаем F(ж) на множители:

(ж) = (ж-а)°(ж-&)... (а1, jSl. ...). Доказьшается, что дробь м, б. представлена в виде суммы простых дробей:

F(x)

л; - о (х-а)

4 . ,

х-Ь г (х-Ь)> (Ь)3

Интегрирование каждой из этих дробей не

представит затруднений, напр.: Jdx = Axlnix-a) + C;...f ,dx

= AkJ (ж-а)- йж= -

Ак 1 ,р

-h + 1 (х-а)М

Коэффициенты Ai, А,..., В, В,... определяют, приводя дроби к общему знаменателю

и приравнивая в числителях коэффициенты при одинаковых степенях ж.

Пример. dx.

Имеем:

х{х-ху зс 2c - 1 (x - 1) А(х - 1)+ (x - 1) + Сх х{х - 1)

Сравнение коэфф-тов дает: при ж, А+В=\; при ж, -2А - B+C=Q; свободный член А = 1. Отсюда Б=0, С=2. Подставляя и интегрируя, находим: .

= In ж -

в случае, если ур-ие F{x)=Q имеет мнимые корни, знаменатели простых дробей будут содержать мнимость; но если все коэфф-ты многочленов (р{х) и (ж) действительны, то наряду с комплексным членом будет другой, ему сопряженный; складывая их, мы получим действительное выражение; пусть а= = P+qi, Ai = M+]<!i; тогда, необходимо, /3= V - qi, Bi= M~Ni; складывая, имеем: м + т м - т 2 м(х - р) - giv

x-p-qi x-p + qi

Интеграция дает:

(х-р) +в

-2/ (x-p)ta=-(-P) + gJ-

-2iarc

+ С.

Интегрирование иррациональных функций. Дан интеграл

JВ[х,{ах + ъУ\ {ax+bf,...]dx,

где R-рациональная ф-ия своих аргументов. Пусть N-общее наименьшее кратное чисел щ, п,...; делаем подстановку ах+Ъ =

= t, тогда

tN-Ъ

, dX

t-Ut;

iax + bf=t\ (ax + bf t\... (M{= , Mi,...- целые числа). Интеграл примет вид:

Sr{, t%...)-t-ut,

где подинтегральная функция рациональна.

Пример. Г-т. Подставим = х; получим:

= 6f-3f2-b2f8-61n (l + t) + C = = 6ж* - Зж* -f 2ж - 6 In (1 -Ь ж*) -f С. Рассмотрим JJ?(ж,2/) dx, где R-рациональная функция аргументов, y=Va+ &ж -f сж. Для приведения подинтетрального выражения к рациональному виду служат три эйлеровы подстановки:



1) Если корни а и jS алгебраич. трехчлена действительны, вводим переменное t ур-ием:

Ус (x-a)(x-P) = (x-a)t; X ж у выразятся рационально через t.

2) Если о О, то можно положить:

Va + bx + cs =t±xVc.

3) Если а>0, можно положить:

Va + bx + ёз = Va+tx.

Во всех случаях подинтегральная ф-ия будет рациональна относительно t.

Пример. Г , . Применим 2-ю под-

J V х*+А

становку: у = Vx + A = -x+t; отсюда

, dx = dt, у

Получаем

J j = lnf-bC = ln {x + \/x + A) + C.

Наконец, рассмотрим J a; (a-f&*)P(ia; (интеграл от дифференциального бинома); т, п, р-рациональные числа. Если р-целое, то подстановка xt, где -общее наименьшее кратное чисел т и п, приведет к рациональной функции. В противном случае подстановка а Н- bx* = t приведет к интегралу

ш}{ъ~ъ) который, по предыдущему, можно привести к рациональному - целое число. Наконец,

т + 1

виду, если

данный интеграл можно записать в виде: J x +*P (b+axr*ydx, и он может быть при-

т + по +1

веден к рациональному виду, если-- ,

т. е. + р , есть целое число. К интегралам иррациональных ф-ий относятся т. н. эллиптические интегралы вида J R (х, у) dx, где у есть корень квадратный из многочлена 4-й или 3-й степени; они не выражаются в элементарных ф-иях (см. Эллиптические функции).

Интегрирование трансцендентных функций. Для интегралов триго-нометрич. ф-ий JiJ (cos х, sin ж) dx (где R- рациональная ф-ия) всегда приводит к цели подстановка: z = tg; тогда

1 - z* , 2 dz

cosx = r, dx = .

1 + 2

Пример.

Г-= ri+f!.l= Г = 1пг + с =

J smx J 2z l + z* J z

= lntgf-fC.

В отдельных случаях можно этой подстановки избежать, напр.:

J sin2 X cos ж = J sin ж (1 - sin ж) d sin ж = slnx sinx ,

/ife = /iik = + Ctgж)d ctg X =

. = CtgЖ--f-C.


Фиг. I.

Рассмотрим еще интеграл:

I = J e** cos Ьж йж . Две интеграции по частям дают;

J = е -1 sin Ьж - f / 6 = sin Ьж йж =

= ~ е sin &ж 4- s е cos Ьж -1 I. Решая это ур-ие относительно I, получаем:

easo (а cos bx+b aln bx) ~ о +6

Определенный интеграл. Исторически И. и. возникло в связи с решением геометрич. задачи-найти площадь криволинейной фигуры. Пусть нам дана кривая y=f{x); предположим, что ее ординаты положительны; требуется определить площадьР , ограниченную сверху кривою, снизу осью абсцисс, а с боков-ординатами, соответствующими х=а и ж = & (фиг. 1). Делим отрезок PQ на п частей точками Жх, Жг,..., ж1 (обозначим а через Жо, b-через ж ); из точек деления восставляем ординаты; искомая площадь разделится на полоски. ПЛОШДДЬ ПОЛОСКИ

с основанием, равным xji - Ж; = Дж-, заключена между площадями двух прямоугольников, из к-рых больший имеет высоту М,-, равную наибольшей ординате в промежутке (ж,:, ж-х), меньший -наименьшую ординату. Вся площадь заключена ме-

жду двумя суммами: М ж- (по избытку)

n-t =о

и 2 %Аж (по недостатку). Доказьшается,

что когда п безгранично увеличивается и длины интервалов стремятся к нулю, обе эти суммы имеют общий предел, назыв. определенным интегралом ф-ии /(ж) в пре-

делах от а до 6; его записывают так: J* f(x)dx\

ОН представляет собой площадь PABQ (если ординаты кривой отрицательны, определенный интеграл дает величину площади со знаком -). Мы предполагали а<Ь; пусть теперь а>Ь,-все рассуждения сохраняются, ноДж,- будут отрицательны, и мы получим

(ж)йж = - (ж)йж.

Отметим еще 3 формулы:

/(ж) dx = 0; J fix) dx = (ж) dx -Ь Jf (ж) йж ;

(ж)йж = /()(Ь-а),

где I-нек-рая промежуточная точка интервала (а, Ь) (теорема о среднем значении).

Связь определенного интеграла с неопределенным. Предположим, что верхний преде.ч определенного интеграла переменная величина X; сам интеграл



Пример. Г=[1пж]*=1п2.

Ох 1

ф-лы ДЛЯ интегрирования суммы, для постоянного множителя и интеграции по частям в случае определенного интеграла напишутся так:

ь ь ъ ъ

J {и-{-v - w) dx = f и dx +J V dx -J w dx;

a a a

jGf(x)dX=cJ (x)dx;

J uv dx = iuvfa - J vu dx .

При интеграции с помощью подстановки: x=q}(t) надо вьгаислить те значения t, к-рые соответствуют значениям х=а, х-Ь; пусть это будут to, ti. Тогда ъ .

Smdx=ffi<p{t)]<p{t)dt.

о

Пример. J Уа - xdx .

Подстановка: ж = а sin t; dx = а cos t dt. При ж = 0, f = 0; при ж=а, i = . Т. о.,

JУа-xdxaJcost dt--

Мы вычислили, таким обр., площадь круга

(у = + - есть уравнение верхней полуокружности с радиусом а и с центром в начале координат). Т. к. ур-ие эллипса можно

написать в виде: у =Ка -ж, то площадь

эллипса равна лаЪ.

Теоремы о среднем значении. 1) Пусть /(ж) и q>(x)-непрерывные ф-ии, при чем 9?(ж) > О в интервале (а, Ъ), тогда

Sf(.x)<p(x)dx=fQ)jq>{x)dx,

I где I-нек-рая точка между а и Ь.

2) Пусть 9?(ж). положительна, и убьшает между а я Ъ; тогда

J f (X) (р (х) dx = <р (а) J f (х) dx,

где а<<Ъ . Если (р(х) убывает, не оставаясь положительною, то ь S ь

Sf(x)(p (ж) dx = <p{a)Jf(x)dx + <pib)Jf (ж) dx.

а а I

Несобственные интегралы. Иногда можно определить интеграл, если подинтегральная ф-ия не остается непрерьшной. Пусть, в частности, /(ж) обращается в оо при х = а; тогда, если

Jnx)dx = Fix),

мы определим

J7(ж) dx = lim (ж) dx - F(b) - lim Е(а + e),

если этот предел существует. 1

/dx -= ; подинтегральная ф-ия У X

бесконечно велика при бесконечно малом ж; имеем:

lim Г--Ит[2/ж]! = 2-2Ит]/ё=2.

Часто приходится также рассматривать такие интегралы, у которых один или оба предела бесконечности. Они определяются также с помощью понятия предела, например:

со ь

Jf(x)dx = Um Jf{x)dx.

а о >.оо д

Примеры.

/ е- = йж = lim J е-* йж = [-6-==] = 1;

S = *S х] = arc tg (-Ь оо) -

-arc tg (-оо) = I - (-) = л .

Приложения простых интегралов. Площадь, ограниченная плоской кривой. Мы уже видели, что площадь криволинейной трапеции PABQ (фиг. 1) выража-ъ

ется интегралом ff{x)dx. Более сложные

площади приводят делением к площадям

Вычислим производную от F{X) по X:

X + h X

Е{Х + к)-Е{Х)= Jfix) dx -Jfix) dx =

X + h

= (ж)(1ж = Л/а)

(по теореме о среднем значении);

F(X) = + = lim f(i) = fiX).

hO h- .0

Эта производная есть подинтегральная ф-ия, следовательно, определенный интеграл с переменным верхи, пределом есть первообразная ф-ия, т. е. неопределенный интеграл:

(ж) dx=Jf(x) й(х) + С = Fix) -Ь С . (2)

Отсюда-метод вычисления определенного интеграла с помощью неопределенного. Подставляя в двух последних частях равенства (2) вместо X последовательно а и b и вычитая из второго тождества первое, найдем

J/(ж) dx = F{b) -Fia) = [(ж)]*

(последнее вьфажение читается: (ж) с подстановкой а, Ь).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163