не вводить новой буквы для вспомогательного переменного. Примеры.

1) / а+Ьх полагаем: x=f, dx = dt;

2) Jtgxdx=J

sin x dx

: + С.

d cos X

/а cos эс 1 ,

(здесь опускаем подстановку: cos х = t). 3) Jsin ajd= Jiz.cos2x

J dx - Ji cos 2ж da;; подставляя 2x=t, получаем:

J-jcos2ccd(2x)= --8ш2ж + С.

Интегрирование по частям. Этот способ является следствием правила дифференцирования произведения: d{uv)udv + + vdu, откуда Ju dv = uv - Jv du.

Если в заданном интеграле представим подинтетральное выражение в виде и dv, то может случиться, что Jvdu представит собой уже известный интеграл или, по крайней мере, будет проще данного; тогда метод оказывается целесообразным.

Примеры.

1) J же dx; полагаем х=и, edx=dv, тогда v = e,du = dx-H. J хё dx = xe - J edx = xe - -e+C.

2) J arc tga; dx; полагая arctgs=M, dx=dv, находим:

.arct8.-/i.-.arctg.4/?

= Ж arc tga; - In (1 -I- ж ) -f С .

Интегрирование рациональных

функций. Требуется вычислить J dx,

где /(ж) и F(ж)-многочлены. Если степень /(ж) больще (или равна) степени F{x), то при помощи деления выделяем многочлен, к-рый

мы умеем интегрировать; остается j*jy dx ,

где степень многочлена q}{x) меньше степени (ж). Разлагаем F(ж) на множители:

(ж) = (ж-а)°(ж-&)... (а1, jSl. ...). Доказьшается, что дробь м, б. представлена в виде суммы простых дробей:

F(x)

л; - о (х-а)

4 . ,

х-Ь г (х-Ь)> (Ь)3

Интегрирование каждой из этих дробей не

представит затруднений, напр.: Jdx = Axlnix-a) + C;...f ,dx

= AkJ (ж-а)- йж= -

Ак 1 ,р

-h + 1 (х-а)М

Коэффициенты Ai, А,..., В, В,... определяют, приводя дроби к общему знаменателю

и приравнивая в числителях коэффициенты при одинаковых степенях ж.

Пример. dx.

Имеем:

х{х-ху зс 2c - 1 (x - 1) А(х - 1)+ (x - 1) + Сх х{х - 1)

Сравнение коэфф-тов дает: при ж, А+В=\; при ж, -2А - B+C=Q; свободный член А = 1. Отсюда Б=0, С=2. Подставляя и интегрируя, находим: .

= In ж -

в случае, если ур-ие F{x)=Q имеет мнимые корни, знаменатели простых дробей будут содержать мнимость; но если все коэфф-ты многочленов (р{х) и (ж) действительны, то наряду с комплексным членом будет другой, ему сопряженный; складывая их, мы получим действительное выражение; пусть а= = P+qi, Ai = M+]<!i; тогда, необходимо, /3= V - qi, Bi= M~Ni; складывая, имеем: м + т м - т 2 м(х - р) - giv

x-p-qi x-p + qi

Интеграция дает:

(х-р) +в

-2/ (x-p)ta=-(-P) + gJ-

-2iarc

+ С.

Интегрирование иррациональных функций. Дан интеграл

JВ[х,{ах + ъУ\ {ax+bf,...]dx,

где R-рациональная ф-ия своих аргументов. Пусть N-общее наименьшее кратное чисел щ, п,...; делаем подстановку ах+Ъ =

= t, тогда

tN-Ъ

, dX

t-Ut;

iax + bf=t\ (ax + bf t\... (M{= , Mi,...- целые числа). Интеграл примет вид:

Sr{, t%...)-t-ut,

где подинтегральная функция рациональна.

Пример. Г-т. Подставим = х; получим:

= 6f-3f2-b2f8-61n (l + t) + C = = 6ж* - Зж* -f 2ж - 6 In (1 -Ь ж*) -f С. Рассмотрим JJ?(ж,2/) dx, где R-рациональная функция аргументов, y=Va+ &ж -f сж. Для приведения подинтетрального выражения к рациональному виду служат три эйлеровы подстановки:

1) Если корни а и jS алгебраич. трехчлена действительны, вводим переменное t ур-ием:

Ус (x-a)(x-P) = (x-a)t; X ж у выразятся рационально через t.

2) Если о О, то можно положить:

Va + bx + cs =t±xVc.

3) Если а>0, можно положить:

Va + bx + ёз = Va+tx.

Во всех случаях подинтегральная ф-ия будет рациональна относительно t.

Пример. Г , . Применим 2-ю под-

J V х*+А

становку: у = Vx + A = -x+t; отсюда

, dx = dt, у

Получаем

J j = lnf-bC = ln {x + \/x + A) + C.

Наконец, рассмотрим J a; (a-f&*)P(ia; (интеграл от дифференциального бинома); т, п, р-рациональные числа. Если р-целое, то подстановка xt, где -общее наименьшее кратное чисел т и п, приведет к рациональной функции. В противном случае подстановка а Н- bx* = t приведет к интегралу

ш}{ъ~ъ) который, по предыдущему, можно привести к рациональному - целое число. Наконец,

т + 1

виду, если

данный интеграл можно записать в виде: J x +*P (b+axr*ydx, и он может быть при-

т + по +1

веден к рациональному виду, если-- ,

т. е. + р , есть целое число. К интегралам иррациональных ф-ий относятся т. н. эллиптические интегралы вида J R (х, у) dx, где у есть корень квадратный из многочлена 4-й или 3-й степени; они не выражаются в элементарных ф-иях (см. Эллиптические функции).

Интегрирование трансцендентных функций. Для интегралов триго-нометрич. ф-ий JiJ (cos х, sin ж) dx (где R- рациональная ф-ия) всегда приводит к цели подстановка: z = tg; тогда

1 - z* , 2 dz

cosx = r, dx = .

1 + 2

Пример.

Г-= ri+f!.l= Г = 1пг + с =

J smx J 2z l + z* J z

= lntgf-fC.

В отдельных случаях можно этой подстановки избежать, напр.:

J sin2 X cos ж = J sin ж (1 - sin ж) d sin ж = slnx sinx ,

/ife = /iik = + Ctgж)d ctg X =

. = CtgЖ--f-C.

Фиг. I.

Рассмотрим еще интеграл:

I = J e** cos Ьж йж . Две интеграции по частям дают;

J = е -1 sin Ьж - f / 6 = sin Ьж йж =

= ~ е sin &ж 4- s е cos Ьж -1 I. Решая это ур-ие относительно I, получаем:

easo (а cos bx+b aln bx) ~ о +6

Определенный интеграл. Исторически И. и. возникло в связи с решением геометрич. задачи-найти площадь криволинейной фигуры. Пусть нам дана кривая y=f{x); предположим, что ее ординаты положительны; требуется определить площадьР , ограниченную сверху кривою, снизу осью абсцисс, а с боков-ординатами, соответствующими х=а и ж = & (фиг. 1). Делим отрезок PQ на п частей точками Жх, Жг,..., ж1 (обозначим а через Жо, b-через ж ); из точек деления восставляем ординаты; искомая площадь разделится на полоски. ПЛОШДДЬ ПОЛОСКИ

с основанием, равным xji - Ж; = Дж-, заключена между площадями двух прямоугольников, из к-рых больший имеет высоту М,-, равную наибольшей ординате в промежутке (ж,:, ж-х), меньший -наименьшую ординату. Вся площадь заключена ме-

жду двумя суммами: М ж- (по избытку)

n-t =о

и 2 %Аж (по недостатку). Доказьшается,

что когда п безгранично увеличивается и длины интервалов стремятся к нулю, обе эти суммы имеют общий предел, назыв. определенным интегралом ф-ии /(ж) в пре-

делах от а до 6; его записывают так: J* f(x)dx\

ОН представляет собой площадь PABQ (если ординаты кривой отрицательны, определенный интеграл дает величину площади со знаком -). Мы предполагали а<Ь; пусть теперь а>Ь,-все рассуждения сохраняются, ноДж,- будут отрицательны, и мы получим

(ж)йж = - (ж)йж.

Отметим еще 3 формулы:

/(ж) dx = 0; J fix) dx = (ж) dx -Ь Jf (ж) йж ;

(ж)йж = /()(Ь-а),

где I-нек-рая промежуточная точка интервала (а, Ь) (теорема о среднем значении).

Связь определенного интеграла с неопределенным. Предположим, что верхний преде.ч определенного интеграла переменная величина X; сам интеграл

Пример. Г=[1пж]*=1п2.

Ох 1

ф-лы ДЛЯ интегрирования суммы, для постоянного множителя и интеграции по частям в случае определенного интеграла напишутся так:

ь ь ъ ъ

J {и-{-v - w) dx = f и dx +J V dx -J w dx;

a a a

jGf(x)dX=cJ (x)dx;

J uv dx = iuvfa - J vu dx .

При интеграции с помощью подстановки: x=q}(t) надо вьгаислить те значения t, к-рые соответствуют значениям х=а, х-Ь; пусть это будут to, ti. Тогда ъ .

Smdx=ffi<p{t)]<p{t)dt.

1о

о

Пример. J Уа - xdx .

Подстановка: ж = а sin t; dx = а cos t dt. При ж = 0, f = 0; при ж=а, i = . Т. о.,

JУа-xdxaJcost dt--

Мы вычислили, таким обр., площадь круга

(у = + - есть уравнение верхней полуокружности с радиусом а и с центром в начале координат). Т. к. ур-ие эллипса можно

написать в виде: у =Ка -ж, то площадь

эллипса равна лаЪ.

Теоремы о среднем значении. 1) Пусть /(ж) и q>(x)-непрерывные ф-ии, при чем 9?(ж) > О в интервале (а, Ъ), тогда

Sf(.x)<p(x)dx=fQ)jq>{x)dx,

I где I-нек-рая точка между а и Ь.

2) Пусть 9?(ж). положительна, и убьшает между а я Ъ; тогда

J f (X) (р (х) dx = <р (а) J f (х) dx,

где а<<Ъ . Если (р(х) убывает, не оставаясь положительною, то ь S ь

Sf(x)(p (ж) dx = <p{a)Jf(x)dx + <pib)Jf (ж) dx.

а а I

Несобственные интегралы. Иногда можно определить интеграл, если подинтегральная ф-ия не остается непрерьшной. Пусть, в частности, /(ж) обращается в оо при х = а; тогда, если

Jnx)dx = Fix),

мы определим

J7(ж) dx = lim (ж) dx - F(b) - lim Е(а + e),

если этот предел существует. 1

/dx -= ; подинтегральная ф-ия У X

бесконечно велика при бесконечно малом ж; имеем:

lim Г--Ит[2/ж]! = 2-2Ит]/ё=2.

Часто приходится также рассматривать такие интегралы, у которых один или оба предела бесконечности. Они определяются также с помощью понятия предела, например:

со ь

Jf(x)dx = Um Jf{x)dx.

а о >.оо д

Примеры.

/ е- = йж = lim J е-* йж = [-6-==] = 1;

S = *S х] = arc tg (-Ь оо) -

-arc tg (-оо) = I - (-) = л .

Приложения простых интегралов. Площадь, ограниченная плоской кривой. Мы уже видели, что площадь криволинейной трапеции PABQ (фиг. 1) выража-ъ

ется интегралом ff{x)dx. Более сложные

площади приводят делением к площадям

Вычислим производную от F{X) по X:

X + h X

Е{Х + к)-Е{Х)= Jfix) dx -Jfix) dx =

X + h

= (ж)(1ж = Л/а)

(по теореме о среднем значении);

F(X) = + = lim f(i) = fiX).

hO h- .0

Эта производная есть подинтегральная ф-ия, следовательно, определенный интеграл с переменным верхи, пределом есть первообразная ф-ия, т. е. неопределенный интеграл:

(ж) dx=Jf(x) й(х) + С = Fix) -Ь С . (2)

Отсюда-метод вычисления определенного интеграла с помощью неопределенного. Подставляя в двух последних частях равенства (2) вместо X последовательно а и b и вычитая из второго тождества первое, найдем

J/(ж) dx = F{b) -Fia) = [(ж)]*

(последнее вьфажение читается: (ж) с подстановкой а, Ь).