Разложение Л на составляющие параллельно р и перпендикулярно * дает (при ра ф 0):

Для определения точки Р в пространстве относительно выбранной произвольно в пространстве точки О служит радиус-вектор г, который совпадает по величине и направлению с вектором ОР. В отличие от рассмотренных до сих пор векторов радиус-вектор зависит не только от пололения конечной точки Р, но также и от положения начальной точки О. Уравнения, подчиняющие радиус-вектор определенным условиям, дают решение ряда задач геометрии и механики, напр.: ( -i*!) А =0 есть ур-ие плоскости, проходяще!! через точку перпендикулярно к А; уравнение {т-г {тп] =0 есть уравнение плоскости, проходящей через точку Г1 параллельно тип; [т]=Ж(при и=1) есть уравнениепрямой, параллельнойп, проходящей от начала О на расстоянии М, при чем плоскость, проходящая через О и через эту прямую, перпендикулярна к М. Если имеется ряд материальных точек Р, радиусы-векторы которых равны соответственно r, а массы т, то центр тяжести такой системы определяется радиусом-вектором

г = Если твердое тело вращается с угловой скоростью й) вокруг оси, проходящей через начальную точку О в направлении единичного вектора п, то это вращение характеризуется вектором угловой скорости Z = mi. Тогда линейная скорость V движения люиой точки Р этого тела, радиус-вектор которой г, определяется по ф-ле: v.=[<Br]. Если на эту точку Р действует сила F, то момент этой силы относительно точки О равен вектору М =\rF\. Следовательно, для того чтобы Ш оставалось постоянным, конец радиуса-вектора г, т. е. точка приложения силы Jf, может перемещаться только параллельно F.

Для действительного численного задания вектора необходимо выбрать какую-либо систему координат, относительно к-рой определяется вектор, так как абсолютного направления в пространстве не существует. Выберем три взаимно перпендикулярных единичных вектора i, j,Je, параллельных координатным осям ОХ, 0Y, 0Z VL образующих правую связку, ijJc = +\. Тогда i=j = =к = 1, ij=Jk=7ci=0; [ij]k, [JJc] = i, [jci]=J. Теперь молгиб разложить любой вектор параллельно единич. векторам i, J, Те: А =Ai-i-\-AjJ + AIc-Jc=Ai+Aj,J+A,Jc, где A=Ai, Ay=Aj, =-4Л-проекции, или координаты, вектора А. Равным образом:

B = Bi-ByJ+ BJc; С= Cl-\-CyJ+ CJc.

Нетрудно видеть, что А+В= {A+B)i+{Aj,+By)J+{Ag+B,)h АВАВ+АуВу+А,В,; ЛА+А+А.

Два последних выражения определены геометрически независимо от выбора координатных осей, они сохраняют поэтому неизменное значение нри вращении координатных осей, или, как говорят, они и н в а-

Т. 9. т. III.

р И а н т н ы относительно вращения координатных осей. Далее можно вьшести следующие соотношения:

[AB]=iAyB,~AgBy)i+{A,B-AB,)J +

J fc

+ (АВу~АуВ)1с

[АВ]С

Ay As В

Ах Ау Аг Вх By Bi

Сх Су Са

Фиг. 4.

Эти формулы позволяют выралсать векторные соотношения в координатах, и наоборот, например: Xa-\-Yb+Zc-скалярное произведение вектора с проекциями X, Y, Z яв. вектор с проекциями а, 6, с.

Весьма важное значение имеют т. н. в е к-торфункции, ав особенности линейные векторфункции, выралсающие один вектор линейной функцией другого. Такие функции встречаются в теории упругости, в гидродинамике, в теории векторных полей, в механике систем. Так, упругая сила jP, действующая на единицу поверхности деформирован, тела, есть линейная векторфункция единич. нормального вектора и , перпендикулярного к площадке, на к-рую действует сила:

Такие векторфункции изучаются в аффинерном, или тензорном исчислении (си.).

Векторный анализ. Функции скалярного параметра. Если данный вектор зависит от скалярного параметра, например от времени t, то для изучения этой функциональной зависимости сравнивают различные положения конца вектора при неподвижном начале. Когда t непрерывно изменяется, конец вектора Ait) описывает некоторую кривую (см. фиг. 4). По определению, геометрическая производная вектора A(t) есть предел след. выражения

Очевидно, что производная вектора постоянной длины перпендикулярна к этому вектору. Рассмотрим кривую, радиус-вектор всех точек к-рой г является функцией дуги кривой S. Тогда производная = t, где t-единичный касательный вектор к кривой, описываемой концом г. Далее = где к-кривизна кривой, а п-единич. вектор главной нормали. Векторы и л, по определению, образуют с о п р и к а с а ю-щуюся плоскость кривой, а Ь =[tn]- единичный бинормальный вектор.

Можно также показать, что = - хп, где х -

скаляр; число х называют кручением кривой. Если радиус-вектор зависит от двух независимых скалярных переменных, т. е. r=(w, v), то конец этого вектора описывает поверхность. И, наконец, если радиус-вектор зависит от трех независимых скалярных переменных и, v, w, то конец г описывает часть пространства. Переменные и,V,W называются криволинейными координатами конца вектора г.

Скалярные и векторные поля. Если скаляр р имеет во всех точках нек-рого пространства определенные значения, то тогда это пространство является полем скаляра р. Для изучения изменения р в его поле необходимо знать, как будет изменяться р при перемещении в любом нанравле-нии из его начального положения. Для этого поступают следующим образом: 1)окружают данную точку Mq оболочкой и разбивают эту оболочку на элементы поверхности dS, при чем величина вектора dS равна площади dS, а направление определяется единичным вектором внешней нормали п; 2) образуют для каждого элемента поверхности произведение pdS и вычисляют сумму этих произведений по всей оболочке

pdS; 3) делят на объем V,

заключенный внутри оболочки; 4) стягивают эту оболоч- ку вокруг точки Jfo т. о., чтобы объем V стремился к нулю (см. фиг. 5). В пределе получается пространственная производная скалярной функции р, обозначаемая в виде

Фиг. 5.

Vi? - вектор, называемый также г р а д и е н-том р. Проекция этого градиента на любое направление, характеризуемое единичным вектором т, равняется производной р

в этом направлении: тур = например, если р есть давление в любой точке жидкости, то pdS-сила давления, действующая на оболочку, окрунсающую точку Мо. Тогда --ypdS есть средняя сила, действующая на единицу объема внутри оболочки, а-VJ? есть сила, действующая на единицу объема в точке М. Вместо р иногда применяют обозначение gradp.

Пространственные производные в векторных полях образуются точно таким же образом. Если имеется поле вектора А, то, по определению, потоком вектора J. через оболочку, окружающую точку Мо,

называется выражение /s. (Если бы А изображало в каждой точке скорость движения жидкости, то А dS равнялся бы объему жидкости, вытекающей в единицу времени через оболочку.) Разделив на объем и переходя к пределу (F=0), получаем поток на единицу объема в точке Жд, называемый дивергенцией вектора А. Обозначение: divA или

А = Пт±(£А dS. v=o V J

Так, если v изображает в каждой точке скорость движения несжимаемой жидкости, то поток вектора v через любую замкнутую поверхность равен нулю, поэтому divv=0. Если в интеграле но оболочке заменить скалярное произведение А dS векторным, то получится новая пространствен-

ная производная, называемая ротором вектора А. Эта пространственная производная есть вектор, обозначаемый следующим

образом: rot А=[А]=Итг(£[А dS] (иногда

применяется и такое обозначение: curlJL). Проведем через точку ilij, плоскость, перпендикулярную к единичному вектору т (см. фиг. 6). Окружим точку Ж(, замкнутой линией к. Разобьем контур к на элементы dr, направление к-рых связано с вектором т по правилу штопора, и образуем для каждого элемента скалярное произведение Adr. Если бы вектор А изобра-лал силу, то А dr было бы элементарной работой. Сумма произведений вида А dr, взятая по всему контуру, называется циркуляцией вектора 4, или

линейным иятетралом А dr. Если разделить циркуляцию вектора А на площадь S, окаймленную контуром к, то для бесконечно малой площади S мы имеем:

Фиг. 6.

Adr = m rot А.

Проекция ротора.4. на нормаль к данной плоскости равна циркуляции вектора А в этой плоскости, деленной на окаймленную площадь. Так, в электростатическ. поле циркуляция вектора электрич. поля Е равна пулю для любого контура. Поэтому в электростатич. поле, rot JB=0. Пространственную производную вектора А можно также образовать и при помощи постоянного единичного вектора т:

тА = Иш ~ SmdS-A. v=o о

Этот вектор равен производной вектора А в направлении т. Пользуясь символом v. видим, что для обозначения любой пространственной производной при помощи интеграла по оболочке надо написать подин-тетральное выражение, заменив в нем вектор dS символом у; этот символ называют набла или дифференциальным оператором Гамильтона. Если выражать пространственные производные в декартовых координатах, то дифференциальный оператор Гамильтона м. б. изображен в виде симво-. лического множителя:

Таким образом

i J

д д дх

Ах А дЛ

дх У ду Применение векторных ф-л облегчает понимание различ. НИИ; напр. помещенные в т. I

т-А = т~+ т.

-Ь и т. д.

значительно преобразова-Технической

Энциклопедии в ст. Аэродинамика, ст. 829,

три уравнения (где X, Y, Z -проекции вектора силы F; и, v, го-проекции вектора скорости V) могут быть записаны в векториальной форме в виде:

1 dv

а четвертое уравнение примет вид:

Ур-ия ст. 830 той же статьи, где §, ц, $- проекции вектора Vz rot v, запишутся в виде:

1-~W - V* = [rot v-v],

С дифференциальным оператором v можно обращаться, как с вектором, если соблюдать нек-рые предосторожности (например различать величины, подвергаемые действию оператора v> от величин, не подвергаемых этому действию). Тогда легко получить целый ряд полезн. преобразований, например:

АВ = A\/-B-\BxjA+ [А rot В]+[В rot А];

(рА = ч>А -\- А\!(р; ViAB] = В[А]-А[В]В rot А-А rot В. Последнюю формулу можно записатьитак; divUB] = ([А])В - ([yjB])A; здесь кругл, скобки ограничивают действие оператора у. Действие дифференциального оператора не распространяется через круглые скобки; например, скаляр (

{С-А)В= А{В-В)-В{С-А)

равен скалярному произведению из вектора В на производную А в направлении С, помноженную на С. Вектор

(V-4)J?= Ву-4+[В rot Al

градиент скалярного произведения АВ, в котором В считается постоянным. Поэтому надо считать неправильными обозначения вида (А)В и заменять их выражерхиями АВ, а также (4grad)B или [Agra,d]B, где символ grad стоит вместо у. Символ grad должен применяться только как сокращение слова градиент в применении к скалярным функцияМ-.

Приведем примеры некоторых пространственных производных. Если г-радиус вектор, а с-постоянный единичный вектор, то

grad г=-; div = -; rot г = 0; div {с-гс)=1; grad (сг)=с;

rot [сг]=2с; div г=3; с-г=с; grad fir)=f (г) у;

[су] *] =-2с. Дифференцируя пространственные производные, получаем вторые производные, нанр.

div grad <р = \i<p = у V-Символ у 2 называется дифференциальным оператором Лапласа и в декартовых координатах выральется так:

Далее:

rot grad = [уу] = О. Вторыми производными от вектора будут: grad div 4 = у-у4; div rot.4. = [yyjl = 0;

yy-4 = grad div 4 - rot rot. В более сложных случаях можно при по-

мощи индекса при у обозначать тот вектор или скаляр, на к-рый действует дифференциальный оператор, например:

V4AB) =АВ+ВЫ -Ьууд-ЛВ. Здесь у действует только на А, а у в- только на В. Можно также для выделения величины, не подвергающейся дифференцированию, снабжать ее подстрочным знаком Т (комец), например:

гу (ту .4) = ту (wy .4).

Вычислим некоторые вторые производные:

у2=А; 2=6; У!ЧР==р{р+1)гР; уЧпг=1.

Среди функций, удовлетворяющих уравнению yV = О, отметим функции:

jr; In I [сг] I; In ( -I- г),

где z и г-цилиндрич. координаты, -азимут. Если на нек-рых поверхностях в поле скалярных или векторных величин происходят резкие изменения этих величин, то тогда рассматривают поверхностные производные этих величин. Если и. обозначает единичный вектор, нормальный к поверхности разрьша, а индексы 2 и 1 отмечают значения величин <р и Л по обе стороны поверхности разрыва, то получается: поверхностный градиент GTa.d<p = = n{2-<Pi), поверхностная дивергенция Div А = n{A2-Ai); поверхностный ротор Rot А = [n{A2-Ai)]. Можно показать, что поверхностные производные являются пределом соответствующих пространственных производных; напр., если считать поверхность разрыва пределом слоя, толщиной h, то произведение h div А стремится к поверхностной дивергенции:

lim/t div 4 = Div 4, при h, стремящемся к 0.

Кроме дифференциальных формул, не менее важны интегральные формулы. Следует отметить теорему Гауса, связьшающую поток вектора А через замкнутую поверхность с объемным интегралом его дивергенции, распространенным по объему, заключенному внутри этой оболочки

AdS=J div Adz;

в частности:

dr=Q; dSA = J y Л dr; dS = 3V;-B-AdSJ (B-A +AdivB)dr,

Циркуляция вектора A, no теореме Стокса, равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность, окаймлен, этим контуром:

Adr = J rot А dS;

в частности:

grad (fdr = 0; dr = 0; tp dr J [dS grad <p]] [drA] = J [dS]A].

Эти формулы чрезвычайно полезны при разрешении задач из области теории поля.